专题03数列培优-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）数列与不等式二轮突破提升》 专题03 数列培优 一、用“不动点法”求数列的通项公式 对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)＝m的值x＝m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式． 例　(1)在数列{an}中，a1＝1, an＋1＝an＋1，求数列{an}的通项公式． 【解析】　设f(x)＝x＋1， 令f(x)＝x，即x＋1＝x，得x＝2， ∴x＝2是函数f(x)＝x＋1的不动点， ∴an＋1－2＝(an－2)， ∴数列{an－2}是以－1为首项，以为公比的等比数列， ∴an－2＝－1×n－1， ∴an＝2－n－1，n∈N*. (2)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝，求该数列的通项公式． 【解析】　由方程x＝，得数列{an}的不动点为1和2， ＝＝＝·，所以是首项为＝2，公比为的等比数列，所以＝2·n－1， 解得an＝＋2＝，n∈N*. 【强调】 (1)若f(x)＝ax＋b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列{an}满足an＋1＝f(an)，则an＋1－p＝a(an－p)，即{an－p}是公比为a的等比数列． (2)设f(x)＝(c≠0，ad－bc≠0)，数列{an}满足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有两个相异的不动点p，q，则＝k·. 二、数列中的奇、偶项问题 数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列． 例　已知数列{an}满足a1＝1，a2＝，[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0，n∈N*. (1)令bn＝a2n－1，判断{bn}是否为等差数列，并求数列{bn}的通项公式； (2)记数列{an}的前2n项和为T2n，求T2n. 【解析】　(1)因为[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0， 所以[3＋(－1)2n－1]a2n＋1－2a2n－1＋2[(－1)2n－1－1]＝0， 即a2n＋1－a2n－1＝2， 又bn＝a2n－1，所以bn＋1－bn＝a2n＋1－a2n－1＝2， 所以{bn}是以b1＝a1＝1为首项，2为公差的等差数列， 所以bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*. (2)对于[3＋(－1)n]an＋2－2an＋2[(－1)n－1]＝0， 当n为偶数时，可得(3＋1)an＋2－2an＋2(1－1)＝0， 即＝，所以a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，为公比的等比数列； 当n为奇数时，可得(3－1)an＋2－2an＋2(－1－1)＝0，即an＋2－an＝2，所以a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n) ＝＋ ＝n2＋1－，n∈N*. 【强调】 (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型 ①数列中连续两项和或积的问题(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型； ③含有{a2n}，{a2n－1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题． (2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a2k－1＋a2k看作一项，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k. 【突破提升练习】 1．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于(　　) A．200 B．－200 C．400 D．－400 【答案】　B 【解析】　S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝(－1)n·n，若对任意的正整数n，使得(an＋1－p)·(an－p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________． 【答案】　(－1,3) 【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝－1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)nn－(－1)n－1(n－1)＝(－1)n(2n－1)． 因为对任意的正整数n，(an＋1－p)(an－p)<0恒成立， 所以[(－1)n＋1(2n＋1)－p][(－1)n(2n－1)－p]<0. ①当n是正奇数时，化为[p－(2n＋1)][p＋(2n－1)]<0，解得1－2n<p<2n＋1， 因为对任意的正奇数n都成立，取n＝1时， 可得－1<p<3. ②当n是正偶数时，化为[p－(2n－1)][p＋(1＋2n)]<0， 解得－1－2n<p<2n－1， 因为对任意的正偶数n都成立，取n＝2时， 可得－5<p<3. 联立解得－1<p<3. 所以