专题02数列求和及其综合应用-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）数列与不等式二轮突破提升》 专题02 数列求和及其综合应用 【考情分析】　数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上． 考点一　数列求和 重点热点 1．裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消．常见的裂项方式有： ＝－；＝；＝；＝. 2．如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式． 考向1　分组转化法求和 例1　已知在等比数列{an}中，a1＝2，且a1，a2，a3－2成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn＝＋2log2an－1，求数列{bn}的前n项和Sn. 【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，由a1，a2，a3－2成等差数列，得2a2＝a1＋a3－2， 即4q＝2＋2q2－2，解得q＝2(q＝0舍去)， 则an＝a1qn－1＝2n，n∈N*. (2)bn＝＋2log2an－1＝＋2log22n－1＝＋2n－1， 则数列{bn}的前n项和 Sn＝＋(1＋3＋…＋2n－1) ＝＋n(1＋2n－1)＝1－＋n2. 考向2　裂项相消法求和 例2　(2020·莆田市第一联盟体学年联考)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－2n，{bn}为正项等比数列，且b1＝a1＋3，b3＝6a4＋2. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)设cn＝，求{cn}的前n项和Tn. 【解析】　(1)由Sn＝n2－2n，得当n＝1时，a1＝S1＝－1， 当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2－2(n－1)＝n2－4n＋3， 所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，a1＝－1也满足此式．所以an＝2n－3，n∈N*. 又b1＝a1＋3＝2，b3＝6a4＋2＝32， 因为{bn}为正项等比数列，设{bn}的公比为q(q>0)． 所以q2＝＝16，即q＝4， 所以bn＝b1·qn－1＝2·4n－1＝22n－1，n∈N*. (2)因为an＋1＝2(n＋1)－3＝2n－1，bn＋1＝22n＋1. 所以cn＝＝ ＝＝. 所以Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝ ＝＝.所以Tn＝. 考向3　错位相减法求和 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，an>0，且a－2an＋1an－3a＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝log3(1＋Sn)，求数列{anbn}的前n项和Tn. 【解析】　(1)由a－2an＋1an－3a＝0及an>0， 得2－2×－3＝0， 解得＝3或＝－1(舍)， 所以{an}是等比数列，且公比q＝3， 又a1＝2，所以an＝2·3n－1，n∈N*. (2)因为Sn＝＝3n－1， 所以bn＝log3(1＋Sn)＝n，则anbn＝2n·3n－1， 所以Tn＝2×30＋4×31＋6×32＋…＋(2n－2)·3n－2＋2n·3n－1，① 所以3Tn＝2×31＋4×32＋6×33＋…＋(2n－2)·3n－1＋2n·3n，② ①－②，得(1－3)Tn＝2＋2×31＋2×32＋2×33＋…＋2·3n－1－2n·3n＝－2n·3n＝(1－2n)·3n－1， 所以Tn＝·3n＋. 【方法小结】　(1)分组转化法求和的关键是将数列通项转化为若干个可求和的数列通项的和差． (2)裂项相消法的基本思路是将通项拆分，可以产生相互抵消的项． (3)错位相减法求和，主要用于求{anbn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列． 考点二　数列的综合问题 重点热点 数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，通过放缩进行等式的证明． 例4　(1)(2020·日照模拟)如图，在直角坐标系xOy中，一个质点从A(a1，a2)出发沿图中路线依次经过B(a3，a4)，C(a5，a6)，D(a7，a8)，…，按此规律一直运动下去，则a2 017＋a2 018＋a2 019＋a2 020等于(　　) A．2 017 B．2 018 C．2 019 D．2 020 【答案】　C 【解析】　由直角坐标系可知，A(1,1)，B(－1,2)，C(2,3)，D(－2,4)，E(3,5)，F(－3,6)，即a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2，a5＝2，a6＝3，a7＝－2，a8＝4，…， 由此可知，数列中偶数项是从1开