专题01等差数列与等比数列-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）数列与不等式二轮突破提升》 专题01 等差数列与等比数列 【考情分析】　1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现. 2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 重点热点 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. (3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d. (4)等比数列的求和公式：Sn＝ 例1　(1)(2020·阳泉期末)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知a1＋a21＝0，S14＝98，则(　　) A．an＝－n＋11 B．an＝－2n＋22 C．Sn＝n2－7n D．Sn＝－n2＋14n 【答案】　B 【解析】　设等差数列{an}的公差为d， 由题意可知，2a1＋20d＝0,14a1＋91d＝98， 解方程可得，a1＝20，d＝－2， 故an＝－2n＋22，Sn＝－n2＋21n. (2)已知点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上(n∈N*)．数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.则Tn的最小值为________． 【答案】　－30 【解析】　∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－1的图象上， ∴an＝2n－1(n∈N*)， ∴{an}是首项为a1＝1，公比q＝2的等比数列， ∴Sn＝＝2n－1， 则bn＝＝2n－12(n∈N*)， ∴{bn}是首项为－10，公差为2的等差数列， ∴Tn＝－10n＋×2＝n2－11n＝2－. 又n∈N*， ∴Tn的最小值为T5＝T6＝2－＝－30. 【方法小结】　等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列． (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算． 考点二　等差数列、等比数列的性质 重点热点 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an. 例2　(1)(2020·北京师范大学附属实验中学月考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7>0，a8<0，则下列结论正确的是(　　) A．S7<S8 B．S15<S16 C．S13>0 D．S15>0 【答案】　C 【解析】　由等差数列的性质及求和公式得，S13＝＝13a7>0，S15＝＝15a8<0.又∵等差数列{an}中，a7>0，a8<0，则{an}是首项为正数的递减数列，∴S7>S8，S15>S16，故选C. (2)已知函数f(x)＝(x∈R)，若等比数列{an}满足a1a2 020＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)等于(　　) A．2 020 B．1 010 C．2 D. 【答案】　A 【解析】　∵a1a2 020＝1， ∴f(a1)＋f(a2 020)＝＋ ＝＋＝＋＝2， ∵{an}为等比数列， 则a1a2 020＝a2a2 019＝…＝a1 010a1 011＝1， ∴f(a2)＋f(a2 019)＝2，…，f(a1 010)＋f(a1 011)＝2， 即f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a2 020)＝2×1 010＝2 020. 【方法小结】　等差、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题． 考点三　等差数列、等比数列的探索与证明 重点热点 等差数列 等比数列 定义法 an＋1－an＝d ＝q(q≠0) 通项法 an＝a1＋(n－1)d an＝a1·qn－1 中项法 2an＝an－1＋an＋1 (n≥2) a＝an－1an＋1 (n≥2，an≠0) 前n项和法 Sn＝an2＋bn (a，b为常数) Sn＝kqn－k (k≠0，q≠0,1) 证明数列为等差(比)数列一般使用定义法． 例3　(2019·全国Ⅱ)已知数列