专题02空间点、线、面之间的位置关系-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）立体几何二轮突破提升》 专题02空间点、线、面的位置关系 【考情分析】　高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是空间线面关系的命题的真假判断；二是体积、表面积的求解，空间中以垂直或平行关系的证明为主，中等难度． 考点一　空间线、面位置关系的判定 重点热点 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题． (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断． 例1　(1)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是(　　) A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ B．若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥c C．若α∩β＝a，b∥a，则b∥α D．若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a 【答案】　A 【解析】　A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a， 则a⊥γ，该说法正确； B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c， 在三棱锥P－ABC中，令平面α，β，γ分别为平面PAB，平面PAC，平面PBC， 交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足a∥b∥c，该说法错误； C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b⊂α，不满足b∥α，该说法错误； D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α， 正方体ABCD－A1B1C1D1中，令平面α，β分别为平面ABCD，平面ADD1A1，交线a为AD， 当直线b为A1C1时，满足b∥α，不满足b∥a，该说法错误． (2)(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则(　　) A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 【答案】　B 【解析】　如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝2＋2＋22＝7，得BM＝，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线． 【易错提醒】　(1)定理中的条件理解不全面． (2)直接将平面几何中的结论引入到立体几何中． 考点二　空间平行、垂直关系 重点热点 平行关系及垂直关系的转化 考向1　平行、垂直关系的证明 例2　(2020·山西省长治第二中学月考)如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．求证： (1)PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE. 【解析】证明　(1)如图，AC∩BD＝O，连接OE， 在△PAC中，O是AC的中点，E是PC的中点， ∴OE∥AP， 又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE. ∴PA∥平面BDE. (2)∵PO⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴PO⊥BD， 又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE， ∴平面PAC⊥平面BDE. 考向2　翻折问题 例3　(2020·莆田第一联盟体联考)如图，正方形ABCD的边长为2，以AC为折痕把△ACD折起，使点D到达点P的位置，且PA＝PB. (1)证明：平面PAC⊥平面ABC； (2)若M是PC的中点，设＝λ(0<λ<1)，且三棱锥A－BMN的体积为，求λ的值． 【解析】(1)证明　如图，取AC的中点O，连接PO，BO. 因为PC＝PA，所以PO⊥AC. 在△POB中，PO＝OB＝AC＝2，PB＝PA＝2， 则PB2＝PO2＋OB2，所以PO⊥OB， 又AC∩OB＝O，且AC，OB⊂平面ABC， 所以PO⊥平面ABC， 又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC. (2)解　因为平面PAC⊥平面ABC， 又平面PAC∩平面ABC＝AC，且BO⊥AC， 所以OB⊥平面PAC， 所以VA－BMN＝VB－AMN＝S△AMN·BO. 又因为OB＝2，VA－BMN＝，所以S△AMN＝. 因为＝λ， 所以S△AMN＝(1－λ)S△APM＝S△PAC. 又S△PAC＝PA·PC＝4，所以×4＝，得λ＝. 【易错提醒】　(1)证明线面平行时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件． (2)证明面面平行时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件． (3)证明