专题01空间几何体-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）立体几何二轮突破提升》 专题01空间几何体 【考情分析】　几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积与体积是高考题的重点与热点，多以小题的形式进行考查，属于中等难度． 考点一　三视图与直观图 重点热点 1．一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”． 2．由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体． 3．S直观图＝S原图． 例1　(1)(2020·北京通州区期末)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 【答案】　C 【解析】　根据三视图还原几何体如图所示，其中AB⊥AC，PC⊥平面ABC，由图可得，CP＝AC＝4，AB＝2，所以BC＝2，AP＝4>2，BP＝＝＝2>4， 所以最长的棱长为2. (2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________． 【答案】　2＋ 【解析】　如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E， 则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝. 而四边形AECD为矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1. 由此可还原原图形如图所示． 在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2， B′C′＝＋1， 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴这块菜地的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′ ＝××2＝2＋. 【方法小结】　由三视图还原直观图的方法 (1)还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体． (2)注意图中实、虚线，实际分别是原几何体中的可视线与被遮挡线． (3)想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体． (4)由三视图还原直观图时，往往采用削体法，选定一个视图，比如俯视图，然后逐步削切正方体等几何载体． 考点二　表面积与体积 重点热点 1．旋转体的侧面积和表面积 (1)S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)(r为底面半径，l为母线长)． (3)S球表＝4πR2(R为球的半径)． 2．空间几何体的体积公式 V柱＝Sh(S为底面面积，h为高)； V锥＝Sh(S为底面面积，h为高)； V球＝πR3(R为球的半径)． 例2　(1)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】　40π 【解析】　因为母线SA与圆锥底面所成的角为45°， 所以圆锥的轴截面为等腰直角三角形． 设底面圆的半径为r，则母线长l＝r. 在△SAB中，cos∠ASB＝，所以sin∠ASB＝. 因为△SAB的面积为5，即SA·SBsin∠ASB ＝×r×r×＝5， 所以r2＝40， 故圆锥的侧面积为πrl＝πr2＝40π. (2)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，点D在棱AA1上，则三棱锥D－BB1C1的体积为________． 【答案】　 【解析】　如图，取BC的中点O， 连接AO. ∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2， ∴AC＝2，OC＝1，则AO＝. ∵AA1∥平面BCC1B1， ∴点D到平面BCC1B1的距离为. 又＝×2×2＝2， ∴＝×2×＝. 【易错提醒】　(1)计算表面积时，有些面的面积没有计算到(或重复计算)． (2)一些不规则几何体的体积不会采用分割法或补形思想转化求解． (3)求几何体体积的最值时，不注意使用基本不等式或求导等确定最值． 考点三　多面体与球 重点热点 解决多面体与球问题的两种思路 (1)利用构造长方体、正四面体等确定直径． (2)利用球心O与截面圆的圆心O1的连线垂直于截面圆的性质确定球心． 例3　(1)(2020·全国Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________． 【答案】　π 【解析】　圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB， 故＝，即＝，解得r＝， 故内切球的体积为π3＝π. (2)已知三棱锥P－ABC满足平面PAB⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝4，∠AP