专题01坐标系与参数方程-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）选修教材二轮突破提升》 专题01坐标系与参数方程 【考情分析】本讲主要考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化及应用，中等难度． 考点一　极坐标方程 重点热点 直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)， 则 例1　(2020·四川省双流中学月考)在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C的极坐标方程； (2)直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)，若l1，l2与曲线C分别交于异于极点的A，B两点，求△AOB的面积． 【解析】　(1)∵曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25， 即x2＋y2－6x－8y＝0. ∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A，B. 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ， 得ρ1＝|OA|＝4＋3， ∴A. 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ， 得ρ2＝|OB|＝3＋4， ∴B. ∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB＝(4＋3)(3＋4)·sin＝12＋. 【易错提醒】　在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． 考点二　参数方程 重点热点 几种常见曲线的参数方程 (1)圆 以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是 其中α是参数． 当圆心在(0,0)时，方程为其中α是参数． (2)椭圆 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数． 椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是其中φ是参数． (3)直线 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 其中t是参数． 例2　(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)． (1)求C和l的直角坐标方程； (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 【解析】　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1. 当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α， 当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内， 所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0. 又由①得t1＋t2＝－，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率为tan α＝－2. 【方法小结】　把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法，加减消参法，平方和(差)消参法，乘法消参法，混合消参法等．把曲线C的普通方程F(x，y)＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．注意方程中的参数的变化范围． 考点三　极坐标与参数方程的综合应用 重点热点 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等． 例3　(2020·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k＝1时，C1是什么曲线？ (2)当k＝4时，求C1与C2的公共点的直角坐标． 【解析】　(1)当k＝1时， 曲线C1的参数方程为(t为参数)， 两式平方相加，得x2＋y2＝1， 所以曲线C1表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆． (2)当k＝4时， 曲线C1的参数方程为(t为参数)， 所以x≥0，y≥0， 曲线C1的参数方程化为(t为参数)， 两式相加得，曲线C1的方程为＋＝1， 得＝1－， 平方得y＝x－2＋1,0≤x≤1,0≤y≤1， 曲线C2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0， 曲线C2的直角坐标方程为4x－16y＋3＝0， 联立C1，C2方程 整理得12x－32＋13＝0， 解得＝或＝(舍去)， 所以x＝，y＝， 所以C1，C2公共点的直角坐标为. 【方法小结】　解决极坐标、参数方程的综合问题应关注三点 (1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰． (2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷． (3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件． 【突破提升练习】 1