专题03圆锥曲线综合问题（1）—范围、最值问题-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）解析几何二轮突破提升》 专题03圆锥曲线的综合问题（1）—范围、最值问题 【考情分析】　1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有：范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题等.2.以解答题的压轴题形式出现，难度较大． 范围、最值问题： 母题　(2020·青岛模拟)已知椭圆E：＋＝1.若椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，记△F1MN的内切圆的半径为r，试求r的取值范围． 思路分析 ❶引入参数，设直线l的方程 　　　 ↓ ❷联立l和E的方程(设而不求，根与系数的关系) 　　　 ↓ ❸等积法求出r的表达式 　　　 ↓ ❹函数思想求r的范围 【解析】　设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则F1MN的周长为4a＝8. ＝(|F1M|＋|F1N|＋|MN|)r＝4r， 即r＝， 当l⊥x轴时，l的方程为x＝1，|MN|＝3， r＝＝×|MN|×|F1F2|＝， 当l与x轴不垂直时，设l：y＝k(x－1)(k≠0)， 由得(4k2＋3)y2＋6ky－9k2＝0， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， ＝|F1F2|·|y1|＋|F1F2|·|y2| ＝|F1F2|·|y1－y2| ＝|F1F2|· ＝×2× ＝12， 所以r＝＝3. 令4k2＋3＝t，则t>3， r＝＝ ＝， 因为t>3，所以0<<，所以0<r<， 综上可知，r的取值范围是. [子题1]　(2020·安徽肥东县高级中学调研)过点M(0,2)的直线l与椭圆E：＋＝1交于A，B两点，求△AOB面积的最大值． 【解析】　显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋2， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， 则Δ＝(16k)2－4×4(3＋4k2)>0， 即k2>，x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|x1－x2|＝＝＝4， 则S△OAB＝S△OMB－S△OMA＝×2×|x1－x2|＝4， 设t＝4k2－1>0，∴S(t)＝4＝4≤4＝， 当且仅当t＝，即t＝4，即4k2－1＝4，即k＝±时取等号， ∴△AOB面积的最大值为. [子题2]　已知A(2,1)，过点B(3,0)且斜率大于0的直线l与椭圆E：＋＝1相交于点P，Q，直线AP，AQ与x轴分别相交于M，N两点，求|BM|＋|BN|的取值范围． 【解析】　设直线l的方程为x＝my＋3(m>0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则直线AP的方程为y－1＝(x－2)， 可得M，即M， 同理N. 联立消去x，整理得(2＋m2)y2＋6my＋3＝0， 由Δ＝36m2－12(2＋m2)>0，可得m2>1， y1＋y2＝－，y1y2＝， 所以|BM|＋|BN|＝3－＋3－＝6－－＝6－ ＝6－＝6－， 因为m>0，m2>1，所以m>1，因此0<<4， 所以2<6－<6， 所以|BM|＋|BN|的取值范围是(2,6)． 【方法小结】　求解范围、最值问题的常见方法 (1)利用判别式来构造不等关系． (2)利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式． (4)利用基本不等式． 【突破提升练习】 1．(2020·潍坊模拟)设抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点A是E上一点，且线段AF的中点坐标为(1,1)． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若B，C为抛物线E上的两个动点(异于点A)，且BA⊥BC，求点C的横坐标的取值范围． 【解析】　(1)依题意得F，设A(x0，y0)， 由线段AF的中点坐标为(1,1)，得 即x0＝2，y0＝2－， 又点A是E上一点，所以4＝2p， 得p2－4p＋4＝0，即p＝2. 所以抛物线E的标准方程为x2＝4y. (2)由题意知A(2,1)，设B，C， 则kBA＝＝(x1＋2)，x1≠－2， 因为x1≠－2，所以kBC＝－， BC所在直线方程为y－＝(x－x1)． 联立 因为x≠x1，得(x＋x1)(x1＋2)＋16＝0， 即x＋(x＋2)x1＋2x＋16＝0， 因为Δ＝(x＋2)2－4(2x＋16)≥0， 即x2－4x－60≥0，故x≥10或x≤－6. 经检验，当x＝－6时，不满足题意． 所以点C的横坐标的取值范围是(－∞，6)∪[10，＋∞)． 2.如图，在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，过直线l：x＝4左侧的动点P作PH⊥l于点H，∠HPF的角平分线交x轴于点M，且|PH|＝2|MF|，记动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)过点F作直线l′交曲线C于A，B两点，设＝λ，若λ∈，求|AB|的取值范围． 【解析】　(1)设P(x，y)，由题意可知|MF|＝|PF|， 所以＝＝，即＝， 化简整理得＋