专题02椭圆、双曲线、抛物线-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）解析几何二轮突破提升》 专题02椭圆、双曲线、抛物线 【考情分析】　高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题． 考点一　椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程 重点热点 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)． (3)抛物线：|PF|＝|PM|，l为抛物线的准线，点F不在定直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算” 所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1　(1)(2020·江阴市四校模拟)若椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 【答案】　D 【解析】　椭圆＋＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a＋2c＝16， 椭圆＋＝1(其中a>b>0)的离心率为，可得＝，解得a＝5，c＝3，则b＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)已知F1，F2分别为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过右焦点F2的直线l：x＋y＝c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为QF2的中点，△QF1F2的面积为4，则双曲线E的方程为(　　) A.－y2＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】　B 【解析】　双曲线E：－＝1(a>0，b>0)在第一象限的渐近线方程为y＝x， 代入直线x＋y＝c，可得P， 且Q(0，c)，F2(c,0)， 点P为QF2的中点，可得c＝＝， 可得a＝b， QF1F2的面积为4，即·2c·c＝4， 解得c＝2，a＝b＝， 则双曲线E的方程为－＝1. 【易错提醒】　求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置． 考点二　圆锥曲线的几何性质 重点热点 1．求离心率通常有两种方法 (1)求出a，c，代入公式e＝. (2)根据条件建立关于a，b，c的齐次式，消去b后，转化为关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 2．与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay＝0的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)． 例2　(1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，且·＝0，＝2，则椭圆E的离心率为(　　) A. B. C. D. 【答案】　C 【解析】　∵＝2， 设|BF2|＝x，则|AF2|＝2x， ∴|AF1|＝2a－2x，|BF1|＝2a－x， ∵·＝0，∴AF1⊥AF2， 在Rt△AF1B中，有(2a－2x)2＋(3x)2＝(2a－x)2， 解得x＝，∴|AF2|＝，|AF1|＝， 在Rt△AF1F2中，有2＋2＝(2c)2， 整理得＝，∴e＝＝. (2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，M是AB的中点，则点M到抛物线准线的距离为(　　) A. B．4 C．7 D．8 【答案】　B 【解析】　由题意可知直线y＝x－1过抛物线y2＝4x的焦点(1,0)，如图，AA′，BB′，MM′都和准线垂直，并且垂足分别是A′，B′，M′， 由图象可知 |MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)， 根据抛物线的定义可知|AA′|＋|BB′|＝|AB|， ∴|MM′|＝|AB|，联立 得x2－6x＋1＝0， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8， ∴|MM′|＝4. 二级结论　抛物线的有关性质：已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线l的倾斜角)． (2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． (3)＋＝. 考点三　直线与圆锥曲线的位置关系 重点热点 解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解