专题01直线与圆-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）解析几何二轮突破提升》 专题01直线与圆 【考情分析】　1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度． 考点一　直线的方程 重点热点 1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为零)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为零)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝. 3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝. 例1　(1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2间的距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】　B 【解析】　由l1∥l2得(a－2)a＝1×3，且a×2a≠3×6， 解得a＝－1，∴l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0， ∴l1与l2间的距离d＝＝. (2)直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为(　　) A．2x＋3y－12＝0 B．2x＋3y＋12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x－3y－12＝0 【答案】　B 【解析】　由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0， 令可得x＝－3，y＝1， ∴N(－3,1)． 设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)． 则＝， 解得c＝12或c＝－6(舍去)． ∴所求直线方程为2x＋3y＋12＝0. 【易错提醒】　解决直线方程问题的三个注意点 (1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性． (2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在． 考点二　圆的方程 重点热点 1．圆的标准方程 当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2. 2．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆． 例2　(1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 【答案】　x2＋y2－2x＝0 【解析】　方法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)， ∴解得 ∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0. 方法二　画出示意图如图所示， 则△OAB为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1， 即x2＋y2－2x＝0. (2)已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.则圆C的标准方程为________________________． 【答案】　(x－1)2＋(y－)2＝2 【解析】　设圆心C(a，b)，半径为r， ∵圆C与x轴相切于点T(1,0)， ∴a＝1，r＝|b|. 又圆C与y轴正半轴交于两点， ∴b>0，则b＝r， ∵|AB|＝2，∴2＝2，∴r＝， 故圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2. 【方法小结】　解决圆的方程问题一般有两种方法 (1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 考点三　直线、圆的位置关系 【重点热点】 1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法． (2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组 消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0. 2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离． 例3　(1)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．2 【答案】　C 【解析】　由题意，得圆C的标准方程为(x－2)2＋