专题03概率统计培优-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）概率统计二轮突破提升》 专题03概率统计培优 一、非线性回归问题 通过变量间的相关关系对两个变量进行统计分析是数学的重要应用．其中非线性回归问题具有十分重要的现实意义． 例　(2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①：＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：＝99＋17.5t. (1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【解析】　(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)． 利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)． (2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下： (ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠． (ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠． 【强调】 非线性回归方程的求法 (1)根据原始数据作出散点图． (2)根据散点图，选择恰当的拟合函数． (3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程． (4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程． 二、概率与统计的创新题型 概率统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，掌握此类问题的解题策略在高考中就显得非常重要． 例　(2020·江苏)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为qn. (1)求p1，q1和p2，q2； (2)求2pn＋qn与2pn－1＋qn－1的递推关系式和Xn的均值E(Xn)(用n表示)． 【解析】　(1)p1＝·＝，q1＝·＝， p2＝··p1＋··q1＋0·(1－p1－q1) ＝p1＋q1＝， q2＝··p1＋·q1＋··(1－p1－q1) ＝－q1＋＝. (2)当n≥2时， pn＝··pn－1＋··qn－1＋0·(1－pn－1－qn－1)＝pn－1＋qn－1，① qn＝··pn－1＋·qn－1＋··(1－pn－1－qn－1) ＝－qn－1＋，② 2×①＋②，得2pn＋qn＝pn－1＋qn－1－qn－1＋＝(2pn－1＋qn－1)＋. 从而2pn＋qn－1＝(2pn－1＋qn－1－1)， 又2p1＋q1－1＝， 所以2pn＋qn＝1＋n－1＝1＋n，n∈N*.③ 由②，有qn－＝－， 又q1－＝， 所以qn＝n－1＋，n∈N*. 由③，有pn＝ ＝n＋n＋，n∈N*. 故1－pn－qn＝n－n＋，n∈N*. Xn的分布列为 Xn 0 1 2 P 1－pn－qn qn pn 则E(Xn)＝0×(1－pn－qn)＋1×qn＋2×pn ＝1＋n，n∈N*. 【强调】 概率统计问题考查学生的数据分析能力，要从已知数表中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、各事件间的关系，建立适当的数学模型． 【突破提升练习】 1.某网站的调查显示，健身操类、跑步类、拉伸运动类等健身项目在大众健康项目中是比较火热的，但是大多数人的健身科学类知识相对缺乏，尤其是在健身指导方面．从某健身房随机抽取200名会员，对其平均每天健身时间进行调查，如下表，健身之前他们的体重情况如柱状图（1）所示，该健身房的教练为他们制订了健身计划，四个月后他们的体重情况如柱状图（2）所示． 平均每天健身时间（分钟） 人数 20 36 44 50 40 10 柱状图（1