专题02概率、随机变量及其分布列-2021年高考数学（理）三轮突破提升专题

《2021年数学（理）概率统计二轮突破提升》 专题02概率、随机变量及其分布列 【考情分析】1.考查古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、独立重复试验等内容，主要以选择题、填空题的形式出现，中低等难度.2.离散型随机变量的分布列、均值、方差和概率的计算问题常常结合在一起进行考查，中高等难度． 考点一　古典概型和几何概型 重点热点 1．古典概型的概率公式 P(A)＝＝. 2．几何概型的概率公式 P(A)＝. 例1　(1)(2020·宁夏六盘山高级中学模拟)2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在某省爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A，B，C三名护士支援某市第一医院与第二医院，参加该市疫情狙击战．其中选一名护士与一名医生去第一医院，其他都在第二医院工作，则医生甲和护士A被选去第一医院工作的概率为(　　) A. B. C. D. 【答案】　D 【解析】　根据题意，选一名护士与一名医生去第一医院，有：甲A，甲B，甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C,9种情况，而医生甲和护士A被选去第一医院工作有1种情况，所以概率为P＝. (2)(2020·长沙质检)如图所示，三国时期数学家在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为(　　) A．20 B．27 C．54 D．64 【答案】　B 【解析】　设大正方形的边长为x，则小正方形的边长为x－x，设落在小正方形内的米粒数大约为N，则＝，解得N≈27. 【方法小结】　(1)古典概型求解的关键点 ①正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到排列、组合的有关知识． ②对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏． (2)处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是通过转化，将某一事件所包含的事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来． 考点二　随机变量的分布列 重点热点 1．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 2．二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 考向一　超几何分布 例2　(2020·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟)4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组(每名学生只能参加一个读书小组)学生中抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如下： 小组 甲 乙 丙 丁 人数 12 9 6 9 (1)从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率； (2)从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2个，用X表示抽得甲组学生的人数，求随机变量X的分布列和均值． 【解析】　(1)由题意得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4,3,2,3，从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两人的取法共有C＝66(种)，抽取的两名学生来自同一小组的取法共有C＋2C＋C＝13(种)， 所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为P＝. (2)由(1)知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4,2，所以抽取的两个人中是甲组学生的人数X的可能取值为0,1,2， 因为P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 考向二　二项分布 例3　(2020·陕西安康中学模拟)“互联网＋”是“智慧城市”的重要内容，A市在智慧城市的建设中，为方便市民使用互联网，在主城区覆盖了免费WiFi，为了解免费WiFi在A市的使用情况，调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到如下列联表(单位：人)： 经常使用 免费WiFi 偶尔或不用 免费WiFi 总计 45岁及以下 70 30 100 45岁以上 60 40 100 总计 130 70 200 (1)根据以上数据，判断是否有90%的把握认为A市使用免费WiFi的情况与年龄有关； (2)将频率视为概率，现从该市45岁以上的市民中用随机抽样的