专练13（立体几何大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练13（立体几何大题）（30道） 1．（2021·江苏高三专题练习）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，∠BAD＝，AD＝2AB＝2BC＝2PA＝4，M，N分别为AD，PB的中点． （1）求证：PM//平面ACN； （2）求直线DN与平面PAB所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）连接BM，设AC∩BM＝Q，连接NQ，MC，推导出NQ∥PM，由此能证明PM∥平面ACN． （2）过点 D作AB的垂线，交BA的延长线于点H，连接NH，取AB的中点E，连接NE，则NE∥PA，推导出∠DNH为直线DN与平面PAB所成角，由此能求出直线DN与平面PAB所成角的正弦值． 【详解】 （1）证明：如图， 连接BM，设AC∩BM＝Q，连接NQ，MC， 则AM∥BC，AM＝BC＝2， ∴四边形ABCM是平行四边形，∴MQ＝BQ， ∵N为BP的中点，∴在△BMP中，NQ为△BMP的中位线， ∴NQ∥PM， ∵NQ⊂平面ACN，PM⊄平面ACN， ∴PM∥平面ACN． （2）如图， 过点 D作AB的垂线，交BA的延长线于点H， 连接NH，取AB的中点E，连接NE，则NE∥PA， ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DH，PA⊥AB， ∴NE⊥AB， ∵AB⊥DH，PA∩BA＝A，∴DH⊥平面PAB， ∴DN在平面PAB内的射影为HN， ∴∠DNH为直线DN与平面PAB所成角， 在△ADH中，∠HAD＝＝，AD＝4， ∴AH＝2，DH＝， 在Rt△NEH中，NH2＝NE2+EH2＝1+9＝10， 在Rt△NDH中，ND2＝NH2+DH2＝10+12＝22， ∴sin∠HND＝． ∴直线DN与平面PAB所成角的正弦值为． 【点睛】 关键点点睛：利用非向量法求线面角时，根据线面角的定义找到或作出线面角是解题的关键，然后利用直角三角形求解即可，属于中档题. 2．（2021·江苏高三专题练习）如图，在圆柱W中，点O1、O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2． （1）若平面FNH⊥平面NHG，证明：NG⊥FH； （2）若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于，证明：平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （1）若平面⊥平面，因为平面平面，，所以平面，又知道平面，所以得证． （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，根据直线与平面所成线面角的正弦值等于，得到点坐标，再将证明平面与平面所成锐二面角的平面角大于．转化成证明平面与平面所成锐二面角的余弦值小于来解决． 【详解】 解：（1）由题知：面面，面面． 因为，平面． 所以平面． 所以． （2）以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系， 所以，，， 设，则 设平面的法向量， 因为，所以， 所以，即法向量． 因此 所以，解得，所以点． 设面的法向量； 因为，所以， 所以，即法向量． 因为面的法向量， 所以 所以面与面所成锐二面角的平面角大于． 【点睛】 本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题： （1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． （2）设分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 3．（2021·江苏苏州市·高三月考）如图，多面体PQABCD中，四边形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，，，，． （1）设点F为棱CD的中点，求证：对任意的正数a，四边形PQFA为平面四边形； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】 （1）法一：设在平面内的射影为E，可证明点E在CD的垂直平分线上，又也为CD的垂直平分线，AE与CD的交点即为CD的中点F，有PA⊥平面ABCD，QE⊥平面ABCD，，可证明PQFA为平面四边形．法二：证明CD⊥平面AFQ，再证明CD⊥平面PAF，有公共点，可证明结论.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出以及平面的一个法向量，计算可求出夹角的正弦值. 【详解】 （1）方法1：设在平面内的射影为E，由QC=QD可得EC=ED， 所以点E在CD的垂直平分线上 由ABCD是菱形，且，故直线AE与CD的交点即为CD的中点F． 因为PA⊥平面ABCD，QE⊥平面ABCD，所以， 从而PA，QE共面，因此PQ，FA共面，所以PQFA为平面四边形． 方法2：取棱的中点，则有，，又，所以CD⊥平面AFQ， 在菱形中，，所以，又