专练12（概率统计大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练12（概率统计大题）（30道） 1．（2021·江苏常州市·高三一模）某地发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血清检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：方案甲：将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止， （1）求这两种方案检测次数相同的概率； （2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由. 【答案】（1）；（2）乙方案，理由见解析. 【分析】 设甲方案检测的次数，记乙方案检测的次数， （1）记两种方案检测的次数相同为事件A，根据独立事件的概率的乘法公式，即可求解； （2）分别求得随机变量和的期望，结合期望的大小，即可求解. 【详解】 由题意可设甲方案检测的次数是X， 则，记乙方案检测的次数是，则， （1）记两种方案检测的次数相同为事件A， 则， 所以两种方案检测的次数相同的概率为. （2）由， 所以， ，则， 因为，所以采用乙方案. 【点睛】 求随机变量的期望与方差的方法及步骤： 1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值； 2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列； 3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望； 4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 2．（2021·江苏徐州市·高三月考）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修． （1）当时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求的分布列与数学期望； （2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？ 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为750；（2）． 【分析】 （1）由题知当时个系统需要维修的概率为，进而得电子产品需要维修的系统个数满足，，再根据二项分布求解即可； （2）设个元件组成的系统正常工作的概率为，进而得，再分三种情况（见解析）讨论，进而求解时的情况即可得答案. 【详解】 （1）当时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，设为该电子产品需要维修的系统个数，则，， ∴， ∴的分布列为： 0 500 1000 1500 P ∴． （2）记个元件组成的系统正常工作的概率为． 个元件中有个正常工作的概率为， 因此系统工常工作的概率． 在个元件组成的系统中增加两个元件得到个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形： （a）原系统中至少个元件正常工作，概率为； （b）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作， 概率为； （c）原系统中恰有个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作， 概率为． 所以, 因此， ， 故当时，单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性． 【点睛】 该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有独立重复试验，二项分布，分布列与期望，概率加法公式，考查运算求解能力，分析数据处理数据的能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于求出个元件组成的系统正常工作的概率为，进而分三类情况讨论增加两个元件后的系统正常工作的概率，并讨论使得的情况. 3．（2021·南京市中华中学高三期末）为降低工厂废气排放量，某厂生产甲、乙两种不同型号的减排器，现分别从甲、乙两种减排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示： 减排器等级及利润率如下表，其中． 综合得分的范围 减排器等级 减排器利润率 一级品 二级品 三级品 （1）若从这100件甲型号减排器中按等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件产品中随机抽取4件，求至少有2件一级品的概率； （2）将频率分布直方图中的频率近似地看作概率，用样本估计总体，则： ①若从乙型号减排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望； ②从长期来看，投资哪种型号的减排器平均利润率较大？ 【答案】（1）；（2）①二级品数的分布