专练10（数列大题）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练10（数列大题）（30道） 1．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列{an}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为Sn． （1）求数列{an}的通项公式an及Sn； （2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和为Tn． 【答案】（1）,；（2）． 【分析】 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． （2）利用“裂项求和”方法即可得出． 【详解】 （1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得，， ∴. （2）， ∴数列的前项和为 . 2．（2021·江苏无锡市·高三月考）已知等差数列的首项为2，前n项和为Sn，正项等比数列{bn}的首项为1，且满足，前n项和为a3＝2b2，S5＝b2＋b4． （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设，求数列{cn}的前26项和． 【答案】（1），；（2）328. 【分析】 （1）根据题设可得关于公差和公比的方程组，求出其解后可得两个数列的通项公式. （2）利用裂项相消法和分组求和可求的前项和. 【详解】 （1）由题意得：即， ∴，∵是正项等比数列，∴，则， ∴，. （2）， 则 ∴的前26项和为： . 【点睛】 思路点睛：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 3．（2021·江苏省天一中学高三二模）已知等比数列的各项均为正数，且，． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式求出公比，即可得到数列的通项公式；（2）先利用（1）得到的通项公式，再利用等比数列求和公式和裂项相消法可得，最后利用，，即可得证. 【详解】 解：（1）设等比数列的公比为， 因为， 所以， 解得， 所以； （2）证明：因为， 所以， 因为对，，， ∴， 即． 4．（2021·江苏启东市·高三期末）已知集合，，将中所有元素按从小到大的顺序排列构成数列，设数列的前n项和为． （1）若，求m的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）2282. 【分析】 （1）由，则数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项，有B中的元素为3，9，27，共有3项，从而得出答案. （2）根据题意可得数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项，数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项，分组可求和. 【详解】 解：（1）因为， 所以数列中前m项中含有A中的元素为2，4，6，…，26，共有13项， 数列中前m项中含有B中的元素为3，9，27，共有3项， 所以． （2）因为，， 所以数列中前50项中含有B中的元素为3，9，27，81共有4项 所以数列中前50项中含有A中的元素为，共有46项， 所以． 5．（2021·江苏苏州市·高三期末）已知数列中，，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系.记所有可能取值的集合为，其元素和为． （1）证明为单元素集，并用列举法写出，； （2）由（1）的结果，设，归纳出，（只要求写出结果），并求，指出与的倍数关系． 【答案】（1）证明见解析，，；（2）答案见解析. 【分析】 （1）由，，且数列中任意相邻两项具有2倍关系，可得为单元素集，进而可列举出，； （2）由（1）的结果，归纳得，，并利用等比数列求和公式计算出，进而得出与的倍数关系． 【详解】 （1）证明：∵， 数列中任意相邻两项具有2倍关系，∴或． ∵，而，∴． ∴为单元素集． 由此，得，， 则，． （2）由（1）的结果，归纳得， ． ， 因为中的每一个元素的两倍构成的集合等于， 所以． 6．（2021·江苏南通市·高三月考）已知数列满足：，设，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列其前项和为，如果对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】 （1）由数列的递推式：当时，；当时，，推得，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求； （2）求得，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，以及不等式恒成立思想，可得所求范围． 【详解】 解：（1）当时，， 当时， ① ② 由①-②得 （2）由（1）知， 由对任意的恒成立， 7．（2021·江阴市青阳中学高三月考）已知等差数列满足，． （1）求的通项公式； （2）若等比数列的前项和为，且，，，求满足的的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，进而可求得数列的通项公式； （2）设等比数列的公比为，根据已知条件