专练09（填空题-压轴）（30题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练09（填空题-压轴）（30道） 1．（2021·江苏高三专题练习）函数在有___________个零点. 【答案】 【分析】 分析函数的奇偶性，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】 函数的定义域为，， 所以，函数在上为偶函数. 当时，，， 令，则. 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减. 所以，， 又，，， 所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. ，，， 所以，函数在区间上有一个零点，在区间上没有零点， 则函数在区间上只有一个零点， 因此，函数在区间上只有两个零点. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 2．（2021·江苏南通市·高三月考）已知在圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上､下底面及母线均相切.过直线的平面截圆柱得到四边形，其面积为8.若P为圆柱底面圆弧的中点，则平面与球O的交线长为___________. 【答案】 【分析】 先根据球与圆柱的上､下底面及母线均相切，可得四边形为正方形，由，求出球的半径 r;由题意分析出平面与球O的交线为一个圆，利用垂径定理，计算出圆的半径，求出周长即可. 【详解】 设球的半径为r，则，而，∴ . 作于H, ∵⊥底面,∴⊥ AB ∵P为圆柱底面圆弧的中点，∴AP=BP 又为AB中点，∴⊥AB 又,∴ ∴， 又且,∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 平面与球O的交线为一个圆，其半径 圆周长为. 故答案为： 【点睛】 （1）多面体的外接球（内切球）问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有： ①公式法；②多面体几何性质法；③补形法；④寻求轴截面圆半径法；⑤确定球心位置法； （2）一个平面与球相交，所得的截面为一个圆. 3．（2021·江苏省天一中学高三二模）《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉.《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即的中点在底面上的投影为矩形的中心点，，，，，（长度单位：丈）.则楔体的体积为___________（体积单位：立方丈）. 【答案】 【分析】 将几何体补成直三棱柱，计算出三棱柱、三棱锥、三棱锥的体积，进而可求得楔体的体积. 【详解】 延长至点，使得，延长至点，使得，分别取、的中点、， 连接、、、、、、、、、，如下图所示： 因为四边形为矩形，则且， 又因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，且， 为矩形的中心，则为的中点， 因为、分别为、的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，所以，、互相平分， 因为为的中点，则为的中点， ，，， ，则，又且，且， 所以，四边形为平行四边形，且， 为的中点，且，则为的中点， 为的中点，且，所以四边形为平行四边形，， 点在底面上的投影为矩形的中心点，则平面， 平面， 平面，， 因为四边形为矩形，则，，平面， 因为且，所以，几何体为直三棱柱， 平面，平面，， 因为四边形为平行四边形，则，， ，，同理可得， 因此，楔体的体积为. 故答案为：. 【点睛】 方法点睛：求解多面体体积的方法如下： （1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解； （2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 4．（2021·南京市秦淮中学高三开学考试）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为___________. 【答案】 【分析】 求出等边的边长，画出图形，判断D的位置，然后求解即可. 【详解】 为等边三角形且其面积为，则， 如图所示，设点M为的重心，E为AC中点， 当点在平面上的射影为时，三棱锥的体积最大，此时，， 点M为三角形ABC的重心，， 中，有，， 所以三棱锥体积的最大值 故答案为： 【点睛】 思路点睛：本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，要求内接三棱锥体积的最大值，底面是面积一定的等边三角形，需要该三棱锥的高最大，故需要底面，再利用内接球，求出高，即可求出体积的最大值，考查学生