专练08（填空题-提升）（50题）2021高考数学考点必杀500题（江苏专用）

2021高考考点必杀500题 专练08（填空题-提升）（50道） 1．（2021·江苏高三专题练习）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＝6，a3+a9＝14，数列{bn}满足bn＝，记{bn}的前n项和为Tn，Tn的最小值为t，若x+y＝t（x，y＞0），则最小值为__． 【答案】9 【分析】 结合等差数列中项公式、通项公式与前n项和公式可推出Sn，故 ，由裂项相消法可求得Tn，从单调性上知，即，再根据基本不等式中的“乘1法”即可得解． 【详解】 解：由等差数列中项公式知，a3+a9＝14＝2a6，∴a6＝7， ∵a5＝6，∴公差d＝1， ∴数列{an}的通项公式为an＝a5+（n﹣5）d＝n+1， ∴a1＝2，Sn＝＝， ∴bn＝＝＝， 所以 是单调递增数列， 故Tn的最小值为，所以 ∴＝， 当且仅当，即 时，等号成立， ∴的最小值为9． 故答案为：9． 【点睛】 关键点睛：本题考查数列的求和、基本不等式及其应用，解答本题的关键是，由裂项相消可得求和，由，得出答案，属于中档题. 2．（2021·江苏高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若B1P//平面A1BM，则C1P长度的取值范围是____． 【答案】 【分析】 由面面平行找到点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN，再找出点P的位置，使C1P取得最小值和最大值，由此能求出C1P长度的取值范围． 【详解】 取BC中点N，连结B1D，B1N，DN，作CO⊥DN，连结C1O， 因为平面B1DN∥平面A1BM， 所以点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括边界，故不含点N和点D）， 在中，， 所以， 过C1O⊥DN，则当P与O重合时，C1P长度取最小值， 所以C1P长度的最小值为， 当P与D重合时，C1P长度取最大值， ∴C1P长度的最大值为C1D＝， ∵P与D不重合，∴C1P长度的取值范围是． 故答案为： . 【点睛】 解题方法点拨： 1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 3．（2021·江苏高三专题练习）设公差不为的等差数列的前项和为．若数列满足：存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列，则的最小值为__． 【答案】 【分析】 根据题意，设，由等比数列的性质可得，变形可得，然后得到，结合基本不等式的性质，可得答案． 【详解】 解：根据题意，数列为等差数列，设， 若存在三个不同的正整数，使得成等比数列，也成等比数列， 则有，即 联立得，变形可得， 又由等差数列的公差不为，即，则有， 代入①式可得， 又由互不相等且，则，必有，则， 所以，， 故， 设，则， 当且仅当时等号成立，此时不是正整数，不符合题意， 而，且，， 则有，即的最小值为， 故答案为：. 【点睛】 关于等比数列的最值问题的求解，一般 需要先求解出基本量或，进而利用等差或者等比数列的公式写出，代入所求解的式子化简再利用基本不等式或者数列的增减性判断求解最值. 4．（2021·江苏高三其他模拟）已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，其内切球与两侧面分别切于点P，Q，则的长度为____________． 【答案】 【分析】 根据题意，利用等体积法求得正四棱锥的内切球的半径为，再根据题意，将问题平面化，求得侧面上切点所在小圆的半径为，进而根据题意得答案. 【详解】 如图，设正四棱锥内切球的球心为，半径为，为内切球与侧面的切点，为侧面上切点所在小圆的圆心，半径为，为中点，底面正方形中心， 因为正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为， 所以正四棱锥侧面三角形的高为：， 正四棱锥的高为：， 所以正四棱锥的表面积为：， 体积为：， 故由等体积法得：，代入数据解得：， 进而将问题平面化，如图2，，，， 所以， 故由等面积法得：， 即为侧面上切点所在小圆的半径为. 由正四棱锥的定义知，内切圆与四个侧面相切，四个切点构成正方形，故. 故答案为： 【点睛】 本题考查几何体的内切球的相关问题，考查空间想象能力，运算求解能力，是中档题.解题的关键在