6.3.1平面向量的基本定理及坐标表示-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

6.3　平面向量的基本定理及坐标表示 【知识一】平面向量基本定理 1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示 1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y). （2）在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 数学公式 文字语言表述 向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示 1.数乘：已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.共线：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减. 【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6