8.6.2空间直线、平面的垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

8.6.2　空间直线、平面的垂直 【知识点一】异面直线所成的角 1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角). 2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 【知识点二】直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 与平面α相交，但不和平面α垂直，图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中∠PAO 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90° 【知识点三】二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： 　　　　 (4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. 【例1-1】(求异面直线所成的角)在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小． 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（ ）． A． B． C． D． 【变式2】如图，点P，Q分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线AD1，BD的中点，则异面直线PQ和BC1所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【例2-1】（直线与平面所成的角）在三棱柱中，，，且，则直线与平面所成的角的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式1】　如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面