专题08 数列求和-2020-2021学年高二数学数列专题复习课（人教A版2019选择性必修第二册）

专题08 数列求和 数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. （5）分组求和 设数列的前项和为，数列的前项和为， 则数列的前项和，常用于等差等比，奇数项偶数项 （6）合并求和法 （7）倒序相加法 公式法： 1．等差数列中，，公差，则=（ ） A．200 B．100 C．90 D．80 【答案】C 【详解】依题意，所以. 2．已知数列中，， （），则数列的前9项和等于_______． 【答案】27 【详解】因为（）所以（），又因为，所以数列是以1为首项，以为公差的等差数列，则数列的前9项和，故答案为：27. 3.已知等比数列的各项均不相等，且满足，，则该数列的前4项的和为（ ） A．120 B． C． D． 【答案】A 【详解】设的公比为，由题意得解得或，又数列的各项均不相等，所以舍去，即 所以故选：A 裂项相消法： 1.等差类，形如，其中为等差数列. （1） 如： （2） 注意：①裂项时前面的系数不用死记，可以裂项后通分和原式比较，从而求出系数 ②累加相消时注意首尾剩下的项数，如累加相消后首尾各剩两项 ③对于一些式子，可以用分离常数法，如 2.根式类 如： 3.指对数类 （1） 如： （2） 如： 4.裂项相加类（利用进行相消） ，求和时分奇偶进行 5.其他类型 ① ② 练习：1．已知数列的通项公式：，则它的前项和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其前项和. 2.若数列中，则前n项和____________ 【答案】 【详解】 3.求____________. 【答案】 【详解】 4．已知等差数列的前项和为，且，，则数列的前99项和为________. 【答案】 【详解】设等差数列首项a1,公差为：d,则：，联立解的：d=1,a1=1,所以，则，则前99项和：，故：答案为 5．已知数列为等差数列，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设数列的公差为，由题意得，，解得，， ∴，∴， ∴. 6．已知数列的通项公式为，则数列的前项和____________. 【答案】 【详解】由题可知：，则，所以 则，所以 故答案为： 7．已知，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为， 所以，故选：B 错位相减法： 主要用于求数列的前项和，其中分别为等差数列与等比数列 错位相减法的步骤： 已知为等差数列的公差，为等比数列的公比 ①首先写出数列前项和 ②将上式左右两边都乘以公比，得到 ③两式相减 ，化简即可 注意：错位相减后等式右边一共为三部分，首项减尾项，然后加上项的等比数列的和 练习：1．已知数列中，，则数列的前9项和为_____________． 【答案】 【详解】数列的前9项和，， ，两式相减得，. 2．求和：. 【答案】 【详解】设①，则②， ①②，得，即，∴. 3．已知等差数列满足，. （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由已知条件可得，解得. 故数列的通项公式为； （2）设数列的前n项和为，即，故.. 所以，当时，得： 所以. 分组求和法： 设数列的前项和为，数列的前项和为， 则数列的前项和，常用于等差等比，奇数项偶数项 （1） “等差等比”类型 1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为（ ） A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋n－2 D．2n＋1＋n2－2 【答案】D 【详解】由题可知：设数列{an}的前n项和为，所以 即，所以 故 2．若数列的前n项和为，，则的值为_______. 【答案】299 【详解】解：∵，∴， ， ∴ （二）“奇数项偶数项”类型 1．若数列的通项公式是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，，， ，，因此. 2．等于（ ） A． B．－ C． D． 【答案】C 【详解】当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以 综上可得： 合并求和法： 观察数列前几项的规律，将数列进行分段求和 4．在数列中，，则该数列的前100项和等于 A．0 B． C．5050 D． 【答案】D 【详解】∵， ∴ ．选D． 倒序相加法： 当数列满足时，可采取倒序相加法，该方法常用在函数中，注意首尾项的和差关系以及脚标关系 1．设， A．4 B．5 C．