专题06 求数列的通项公式-2020-2021学年高二数学数列专题复习课（人教A版2019选择性必修第二册）

专题06 求数列的通项公式 求数列通项公式常用的七种方法： （1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解； （2）前项和法：根据进行求解； 与的关系式法：由与的关系式，类比出与的关系式，然后两式作差，最后检验出是否满足用上面的方法求出的通项； （3）累加法：当数列中有，即第项与第项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （4）累乘法：当数列中有，即第项与第项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）构造法：①一次函数法：在数列中，（、均为常数，且，）. 一般化方法：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出； ②取倒数法：这种方法适用于（、、为常数，），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于的式子； ③（、为常数且不为零，）型的数列求通项，方法是在等式的两边同时除以，得到一个型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 公式法：练习1．已知数列是等差数列，且.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】解：设等差数列的公差为，则，即，解得：， . 2．已知等比数列满足，且．求数列的通项； 【答案】或； 【详解】解：（1）由题意得或 ∴或． 3．已知是等比数列，是等差数列，，，.求与的通项公式； 【答案】；； 【详解】解：（1）因为，，所以公比，则的通项公式为. 又因为，，所以公差，则的通项公式为. 累加法：练习1．已知，（），则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，则当时， ， …… ， ， ∴， 化简得， 又，∴，经检验也符合上式，∴，故选：C． 2.设数列满足：，，．求的通项公式 【答案】 【详解】（1）∵，，∴，，∴数列是以1为首项，公差为3的等差数列，∴. 累积法：练习1.已知数列{}满足：=，，n)且其前n项和为.求； 【答案】 【详解】由得，当n2时， ， 又也满足上式，故(n). 2.已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】； 【详解】因为，所以，则 当时，满足上式，所以. 与的关系式法：练习1．已知数列的前项和为，且.求数列的通项公式； 【答案】；. 【详解】（1)当时，， 当时，即， 数列为以为首项，为公比的等比数列. 2．设数列的前项和为，已知，，．求数列的通项公式； 【答案】 【详解】因为，则， 当时，，即，即． ∵，取，则，对也成立． 所以是首项和公比都为2的等比数列，从而，所以． 3．已知数列的前n项和为．求这个数列的通项公式； 【答案】 【详解】解：（1）当时，；当时， ，所以； 4．已知数列满足：.求数列的通项公式； 【答案】 【详解】解：（1）因为数列满足：， 所以，当时，当时，，相减可得，所以 综上可得， 5.若数列{bn}满足b1+2b2+3b3+…+nbn=2n-1(n∈N*),求{bn}的通项公式. 【详解】当n=1时,b1=1;当n≥2时,nbn=2n-2,即bn=,所以bn= 6．已知数列的首项，前项和为，且． （1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【详解】（1）证明：由得,当时，． 两式相减得，即，从而． 当时，，∴．又∵，∴，从而． 故总有，．又∵，∴数列是首项为6，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，∴． 构造法：练习1．已知数列的首项，且满足（），则的通项公式为___________. 【答案】 【详解】由得，因为，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以 2．已知数列满足，则__________. 【答案】 【详解】，，即，又， 是首项为3，公比为3的等比数列，，故 3.已知数列满足，，则_________. 【答案】 【详解】由题意知：，即，而，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，有，∴，则. 4.数列满足，则数列通项公式为=________. 【答案】 【详解】因为，故，所以，故是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故答案为：. 5．已知数列满足，．证明：数列是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析，； 【详解】（1），，， ，，， 数列是以为首项，以为公差的等差数列，， 6．数列中，，，求的通项公式. 【答案】 【详解】， 两边取倒数得：， 令，则,得，又，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，， 故，即，解得 7.设数列满足: .求数列的通项公式； 【答案】 【详解】由知：，而，∴数列是首项、公差为的等差数列，即，∴. 8．若数列满足，，则数列的通项公式________. 【答案】 【详解】由，可得，设，则，则 所以是以1为首项，3为公比的等比数列. 则，则，所以 故答案为： 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 $专题06 求数列的通项公式 求数列通项公式常用的七种方法： （1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式或进行求解；