专题05 等差数列与等比数列的综合应用-2020-2021学年高二数学数列专题复习课（人教A版2019选择性必修第二册）

等差数列与等比数列的综合应用 一、单选题（每小题5分，共60分） 1．已知数列既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵数列既是等差数列又是等比数列，∴，，且，∴，即，∴，∴这个数列为常数列， ∴其前项和为，故选：C． 2.已知1，a1，a2，9四个实数成等差数列，1，b1，b2，b3，9五个数成等比数列，则b2（a2﹣a1）等于（ ） A．8 B．﹣8 C．±8 D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则有，，解之可得，， .故选：A. 3．已知首项，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（ ） A． B． C． D．58 【答案】A 【详解】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，，依次成等比数列，， 所以有，即，整理得，因为，所以，，因此，故选：A. 4．已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足、、成等差数列.其前项和为，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，成等差数列，得：，设的公比为，则， 解得：或，又单调递减，，，解得：， 数列的通项公式为：，.故选：C． 5．已知等差数列的前n项和为，且，数列为等比数列，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以， 所以，又数列为等比数列，所以.故选：A. 6．下列命题中正确的是 A．若a，b，c是等差数列，则，，是等比数列 B．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列 C．若a，b，c是等差数列，则，，2c是等比数列 D．若a，b，c是等比数列，则，，是等差数列 【答案】C 【详解】对于A选项，1,2,3成等差数列，但，，不成等比数列；所以A不正确.对于B选项，1,,4成等比数列，此时无意义，所以B不正确.对于C选项，a，b，c是等差数列，即，则所以，，2c成等比数列，所以C正确.对于D选项， 1,2,4成等比数列，但，，不成等差数列；所以D不正确.所以选：C. 7．已知某数列的前项和（为非零实数），则此数列为（ ） A．等比数列 B．从第二项起成等比数列 C．当时为等比数列 D．从第二项起的等比数列或等差数列 【答案】D 【详解】设数列的前项和为，对任意的，（为非零实数）. 当时，；当时，. 若，则，此时，该数列是从第二项起的等差数列；若且，不满足，当时，，此时，该数列是从第二项起的等比数列. 综上所述，此数列为从第二项起的等比数列或等差数列.故选：D. 8．若等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝3a3，且a4与9a7的等差中项为2，则S5＝（ ） A． B．112 C． D．121 【答案】D 【详解】设等比数列{an}的公比为q，由已知得a2a5＝a3a4＝3a3，因为a3≠0，所以a4＝3，即a1q3＝3　①. 因为a4与9a7的等差中项为2，所以a4＋9a7＝a4(1＋9q3)＝4　②，联立①②解得q＝，a1＝81. 所以S5＝＝121.故选：D． 9．若为等比数列，数列满足，，且，则数列的前项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，设等比数列的公比为，则，，， ，数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 数列的前项和．故选：A． 10．数列，满足，，，则数列的前n项和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，数列，满足，，，所以数列是等差数列，且公差是2，是等比数列，且公比是2，又因为，所以 所以，设，所以，则， 所以数列是等比数列，且公比为4，首项为4．由等比数列的前n项和的公式，可得数列前n项的和为故选：B. 11．在等差数列中，，数列是等比数列.若，则满足不等式的最小正整数n是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，即，所以，所以，设等比数列的公比为，则，所以，由得，解得，所以.故选C 12．若数列为等比数列，，且与的等差中项为，则的最大值为（ ） A．5 B．512 C．1024 D．2048 【答案】C 【详解】， ，，故， 所以，所以数列的前4或5项的积最大， 且最大值为.故选：C 二、填空题（每小题5分，共40分） 13．已知数列是等比数列，且，则________________． 【答案】 【详解】将 带入数列的通项公式，可以得到首项为2，将带入数列通项公式可以得第二项为4，所以数列的公比 ，所以 ，所以 所以数列的通项公式为，所以 14．数列为等比数列，且成等差数列，则公差________. 【答案】3 【详解】设数列的公比为q，则，即，即.因为，所以，故公差.故答案为：3. 15．在各项均为