07 利用三角函数的性质求参数-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■吴永芳 三角函数的主要性质有奇偶性、单调性、 周期性、对称性及最值等。利用三角函数的 性质可以求参数的值或参数的取值范围。下 面举例分析,供同学们学习与参考。 一、利用三角函数的奇偶性求参数的值 例1 函数y= 3sin2x-cos2x 的图 像向右平移φ0<φ< π 2( ) 个单位长度后,得 到函数g(x)的图像,若函数g(x)为偶函数, 则φ的值为( )。 A. π 12 B. π 6 C. π 4 D. π 3 解:由 函 数 y= 3sin2x-cos2x= 2sin2x- π 6( ),可 知 其 图 像 向 右 平 移 φ 0<φ< π 2( ) 个单位长度后,得到函数g(x)= 2sin2x-2φ- π 6( ) 的图像。 因为g(x)为偶函数,所以2φ+ π 6= π 2+kπ ,k∈Z,可得φ= π 6+ kπ 2 ,k∈Z。又 φ∈ 0, π 2( ),所以φ= π 6 。应选B。 评析:利用三角函数的奇偶性求参数问 题常用下列结论:①函数y=Acos(ωx+φ) +B(A≠0)为奇函数⇔φ=kπ+ π 2 (k∈Z)且 B=0;②函数y=Acos(ωx+φ)+B(A≠0) 为偶函数⇔φ=kπ(k∈Z)。 二、利用三角函数的单调性求参数的取 值范围 例2 已知函数f(x)=-2sin(2x+φ) (|φ|<π),若 π 5 ,5π 8( ) 是函数f(x)的一个单 调递增区间,则φ的取值范围是( )。 A.- 9π 10 ,- 3π 10[ ] B.π10 ,9π 10[ ] C.π10 ,π 4[ ] D.-π, π 10( ]∪ π 4 ,π[ ) 解:因为2kπ+ π 2≤2x+φ≤2kπ+ 3π 2 , k∈Z,所以kπ+ π 4- φ 2≤x≤kπ+ 3π 4- φ 2 , k∈Z。又因为 π5 ,5π 8( ) 是f(x)的一个单调 递增区间,|φ|<π,所以 5π 8≤kπ+ 3π 4- φ 2 , k∈Z,解得φ≤ π 4 。同理可知,由π 5≥kπ+ π 4- φ 2 ,k∈Z,|φ|<π,可得φ≥ π 10 。由上可 得,π 10≤φ≤ π 4 。应选C。 评析:解答本题要注意单调区间的给出 方式,如“函数f(x)在 kπ- 5π 12 ,kπ+ π 12[ ](k∈ Z)上单调递增”与“函数f(x)的单调递增区 间为 kπ- 5π 12 ,[ kπ+π12](k∈Z)”是不同的。 三、利用三角函数的周期性求参数的值 例3 (1)若函数f(x)=2sin(ωx+φ), x∈R,其中ω>0,|φ|< π 2 ,f(x)的最小正 周期为π,且f(0)= 3,则ω= ,φ= 。 (2)已知函数f(x)=sinωx+ 3cosωx (x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的 最小值是 3π 4 ,则正数ω 的值为 。 解:(1)由f(x)的最小正周期为π,可得 ω=2,由此可知f(x)=2sin(2x+φ)。由 9 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 f(0)= 3,可得2sinφ= 3,即sinφ= 3 2 。 又|φ|< π 2 ,所以φ= π 3 。 (2)函数f(x)=sinωx+ 3cosωx= 2sinωx+ π 3( )。由f(α)=2,f(β)=2,且 |α-β|的最小值是 3π 4 ,可知函数f(x)的最 小正周期T= 3π 4 ,所以ω= 2π 3π 4 = 8 3 。 评析:由三角函数的图像确定函数的解 析式时,要注意函数图像上特殊点的坐标以 及与两个最近对称轴的交点坐标。 四、利用三角函数的对称性求参数的值 例4 (1)已知函数 y=sin(2x+φ) - π 2<φ< π 2( ) 的图像关于直线x= π 3 对称, 则φ的值是 。 (2)若函数y=cosωx+ π 6( )(ω∈N *)图 像的一个对称中心是 π 6 ,0( ),则ω 的最小值 为 。 解:(1)由 函 数 y =sin(2x +φ) - π 2<φ< π 2( ) 的图像关于直线x= π 3 对称, 可得sin2π3+φ( )=±1。因为- π 2<φ< π 2 , 所以 π 6< 2π 3+φ< 7π 6 ,可得2π 3+φ= π 2 ,即 φ=- π 6 。 (2)由题意可知, πω 6+ π 6=kπ+ π 2 (k∈ Z),可得ω=6k+2(k∈Z)。又因为ω∈N*, 所以ωmin=2。 评析:函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴一 定经过图像的最高点或最低点,对称中心的横 坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x= x0 或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中 心时,可通过检验f