06 巧用三角函数的性质,求解析式中o的值-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

巧用三角函数的性质,求解析式中ω 的值 ■廉开波1 胡 磊2 根据三角函数的性质求参数ω 的值或取 值范围是三角函数中比较典型的一类问题, 这类问题频频出现在高考试题中,因此要引 起同学们的重视。 一、巧用周期性求参数ω的值 例1 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) 图1 ω>0,|φ|< π 2( ) 的部分 图像如图1所示,则ω= ,φ= 。 解:由图可知5π 12- - π 3( )= 3 4T ,可 得 周 期T=π。由ω>0,可得ω=2。因为图像过 点 5π 12 ,2( ),所以2× 5π 12+φ=2kπ+ π 2 ,k∈Z, 即φ=2kπ- π 3 ,k∈Z。又因为|φ|< π 2 ,所 以φ=- π 3 。 评析:三角函数解析式中参数ω 与物体 简谐运动的频率、周期相关,只要确定周期 T,参数ω 就可以确定了。 二、巧用单调性求参数ω的值 例2 若函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ< π)在区间 - π 6 ,π 6[ ] 上单调递减,且在区间 0, π 6( ) 上存在零点,则φ的取值范围是 。 解:由2kπ≤2x+φ≤2kπ+π,k∈Z,可得函 数的单调递减区间为 kπ-φ2 ,kπ+ π 2- φ 2[ ], k∈Z。因为f(x)在区间 - π 6 ,π 6[ ] 上单调 递减,所以kπ-φ2≤- π 6 且kπ+ π 2- φ 2≥ π 6 ,k∈Z,所以2kπ+ π 3≤φ≤2kπ+ 2π 3 ,k∈ Z。又因为0<φ<π,所以当k=0时, π 3≤ φ≤ 2π 3 。由2x+φ=kπ+ π 2 ,k∈Z,可得x= kπ 2- φ 2+ π 4 ,k∈Z。由f(x)在区间 0, π 6( ) 上 有零点,可知满足0< kπ 2- φ 2+ π 4< π 6 ,k∈ Z,所以当k=0时0<-φ2+ π 4< π 6 ,可得 π 6<φ< π 2 。综上可得,π 3≤φ< π 2 。 评析:根据余弦函数的单调性和所在区 间上的零点建立不等式是解答本题的关键。 三、巧用对称性求参数ω值 例3 将函数y=2sinωx+ π 6( )(ω>0) 的图像向右平移 2π 3 个单位后,所得的图像关 于y 轴对称,则ω 的最小值为 。 解:将函数y=2sinωx+ π 6( )(ω>0)的 图像向右平移 2π 3 个单位后,可得函数y= 2sinωx- 2π 3ω+ π 6( ) 的图像。因为所得函数 图像关于y 轴对称,所以- 2π 3ω+ π 6=kπ+ π 2 ,k∈Z,即ω=- 3k 2- 1 2 ,k∈Z。故当k= -1时,ω 取得最小值为1。 评析:函数y=Asin(ωx+φ)图像的对 称轴和对称中心可结合y=sinx 图像的对 称轴和对称中心求解。令ωx+φ=kπ+ π 2 , k∈Z,解得x= (2k+1)π-2φ 2ω ,k∈Z,即为对 称轴方程;令ωx+φ=kπ,k∈Z,解得x= kπ-φ ω ,k∈Z,即为对称中心的横坐标(纵坐 标为0)。对于函数y=Acos(ωx+φ),y= Atan(ωx+φ),可以利用类似方法求解(注意 y=Atan(ωx+φ)的图像无对称轴)。 作者单位:1.山东省平邑县教育局教研室 2.山东省平邑县第一中学西校 (责任编辑 郭正华) 8 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 $