05 三角函数求值问题的解题策略-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■张群武 三角函数的求值问题是高考考查的一个 热点,这类问题常与三角函数的周期性、单调 性、奇偶性以及图像交汇考查,一般是以选择 题、填空题的形式出现。 一、利用三角函数的周期性与单调性求值 例1 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,-π<φ<0)在区间 π 6 ,π 2[ ] 上单调递 增,且函数值从-2增大到0。若x1、x2∈ - π 6 ,π 2[ ],且f(x1)=f(x2),则f(x1+ x2)= 。 解:由题意得函数 f(x)的 周 期 T= 4× π2- π 6( )= 4π 3 ,所以ω= 3 2 ,此时f(x)= 2sin 32x+φ( ),将 点 π 6 ,-2( ) 代 入 得 sinφ+ π 4( )=-1。由-π<φ<0,可得φ= - 3π 4 ,所以f(x)=2sin 3 2x- 3π 4( )。由题意 知f π 6( )=-2,f π 2( )=0,故x= π 6 为f(x) 的一条对称轴。当f(x1)=f(x2)时,x1+ x2=2× π 6= π 3 ,于是可得 f(x1+x2)= f π 3( )=- 2。 评析:把“在区间 π 6 ,π 2[ ] 上单调递增”与 “函数值从-2增大到0”这两个条件结合起 来就能够明确区间 π 6 ,π 2[ ] 是函数f(x)的 周期长度的四分之一,由此可求出ω 的值。 二、利用三角函数的奇偶性求值 例2 已知f(x)=2cos (3x+φ)+ é ë êê π 3 ] 为偶函数,且|φ|< π 2 ,则φ= 。 解:由f(x)=2cos 3x+ φ+ π 3( )[ ],且 f(x)为偶函数,可得φ+ π 3=kπ (k∈Z),即 φ=kπ- π 3 (k∈Z)。因为|φ|< π 2 ,故φ= - π 3 。 评析:函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B (A≠0)为奇函数⇔φ=kπ+ π 2 (k∈Z)且B= 0;此函数为偶函数⇔φ=kπ(k∈Z)。 三、利用三角函数的图像求值 例3 图1是函数f(x)=Asin(ωx+φ) 图1 (其 中 A >0,ω>0, φ < π 2 )的部分图像。 若将该图像向左平移h (h>0)个单位后,所得 图像关于直线x= π 3 对称,则h 的最小值为 。 解:由图像知 A=1。由 T 4= 7π 12- π 3= π 4 ,即T=π,可得ω=2。当x= 7π 12 时,2x+ φ= 3π 2+2kπ (k∈Z),可得φ= π 3+2kπ (k∈ Z)。因为|φ|< π 2 ,所以φ= π 3 ,所以f(x)= sin2x+ π 3( )。将该图像向左平移h(h>0) 个单 位 后 所 得 图 像 的 解 析 式 是 g(x)= sin2x+ π 3+2h( )。因为函数g(x)的图像关 于直线x= π 3 对称,所以2× π 3+ π 3+2h= π 2+kπ (k∈Z),解得h= kπ 2- π 4 (k∈Z)。又 h>0,所以h的最小值为 π 4 。 评析:由图像求出振幅、周期、初相,由此 确定函数的解析式,最后利用坐标平移构造 h关于k的函数求最值。 作者单位:湖北省沙市中学 (责任编辑 郭正华) 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 $