04 三角函数的图像平移有学问-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■徐彩娥 三角函数的图像平移问题,在高考中一 般以选择题的形式出现,这类题目看似简单, 其实“暗藏杀机”。同学们在解答这类问题时 应采取什么策略呢? “四看”能让你“摆脱险 情,一路高歌”。 1.一看平移要求 例1 (1)要得到函数y=sin2x- π 3( ) 的 图 像,只 需 将 函 数 y =sin2x 的 图 像( )。 A.向左平移 π 3 B. 向右平移 π 3 C.向左平移 π 6 D. 向右平移 π 6 (2)函数y=sin2x- π 3( ) 的图像经过下 面哪个变化,可以得到函数y=sin2x 的图 像( )。 A.向左平移 π 3 B. 向右平移 π 3 C.向左平移 π 6 D. 向右平移 π 6 解:粗看两题的要求好像差不多,其实两 题的平移要求是不同的。第(1)题是要把函 数y=sin2x 平移到y=sin2x- π 3( ),而第 (2)题是要把函数y=sin2x- π 3( ) 平移到 y=sin2x。第(1)题是平移的基本形式,应 选D。第(2)题是平移的反向形式,应选C。 评注:这类问题,要看由哪个函数平移到 哪个函数,这是判断平移方向的关键。 2.二看函数形式 例2 要得到函数y=sin2x- π 6( ) 的图 像,需要将函数y=cos2x 的图像进行怎样 的平移? 解:由 于 函 数 y =sin 2x- π 6( ) = cos π2- 2x- π 6( )[ ]= cos -2x+ 2π 3( ) = cos2x- 2π 3( )=cos2x- π 3( )[ ],所以需将函 数y=cos2x 向右移动 π 3 个单位长度。 评注:解决这类问题,一定要依赖y= Acos(ωx+φ)的形式,如果题目给出的函数 不是这样的形式,首先要化为y=Acos(ωx+ φ)的形式,再考虑平移。 3.三看平移方向 例3 要得到函数y=sinx- π 4( ) 的图 像,需要将函数y=sinx+ π 4( ) 的图像进行 怎样的平移? 解:由 y = sin x+ π 4( ) 得 到 y = sinx- π 4( ),可以看成原来的x 替换为x- π 2 得到的,即向右平移π 2 个单位长度。 评注:图像平移方向的规则一般记为“正 向左,负向右”。 4.四看平移单位 例4 要得到函数y= 2sin2x+ π 4( ) 的 图像,可 以 将 函 数 y = 2sin2x 的 图 像( )。 A.向左平移 π 4 B. 向右平移 π 4 C.向左平移 π 8 D. 向右平移 π 8 解:由 于 函 数 y= 2sin 2x+ π 4( ) = 2sin2x+ π 8( )[ ],故可以将y= 2sin2x 的 图像向左平移的单位是 π 8 。应选C。 评注:在函数y=Asin(ωx+φ)中,周期 变换和相位变换都是沿x 轴方向的,所以ω 和φ之间有一定的关系,φ 是初相,再经过ω 的伸缩,最后平移的单位是 φ ω 。 作者单位:江苏省太仓高级中学 (责任编辑 郭正华) 6 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 $