01“同角三角函数基本关系式及诱导公式”概说-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■赖应发 利用平方关系求三角函数值时,可根据 角所在象限确定三角函数值的符号;利用诱 导公式求三角函数值时,要熟记口诀“奇变偶 不变,符号看象限”,诱导公式均可看作k· π 2±α (k∈Z)和α 的三角函数值之间的关 系,其中奇、偶指的是此处的k 是奇数还是 偶数。 一、同角三角函数基本关系式的应用 例1 已知sinα+cosα= 2,α∈(0,π), 则tanα的值为 。 解:由 sinα+cosα= 2 , sin2α+cos2α=1,{ 消去sinα 可 得2cos2α-22cosα+1=0,即(2cosα- 1)2=0,所以cosα= 2 2 。因为α∈(0,π),所 以α= π 4 ,所以tanα=tan π 4=1 。 利用公式sin2α+cos2α= 1可实现正、余弦的互化,开 方时要 根 据 角α 所 在 的 象 限 确 定 取 值 符 号;利用sinα cosα=tanα 可以实现角α的弦切 互化。 二、诱导公式的应用 例2 已知A= sin(kπ+α) sinα + cos(kπ+α) cosα (k∈Z),则A 的值构成的集合是( )。 A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2} 解:当k为偶数时,A= sinα sinα+ cosα cosα=2 ; 当k为奇数时,A= -sinα sinα - cosα cosα=-2 。应 选C。 诱导公式有两个应用:一 是求值,即负化正,大化小,化 到锐角为终了;二是化简,即统一角,统一名, 同角名少为终了。 三、同角三角函数基本关系式和诱导公 式的综合应用 例3 (1)已 知 cos5π12+α( ) = 1 3 ,且 -π<α<- π 2 ,则cos π12-α( )= 。 (2)已 知 -π<x<0,sin(π+x)- cosx=- 1 5 ,求sinx-cosx 的值。 解:(1)由题意可得 5π12+α( )+ π 12-α( )= π 2 ,所以cos π12-α( ) =sin π 2- π 12-α( )[ ] = sin5π12+α( )。由-π<α<- π 2 ,可得- 7π 12< α+ 5π 12<- π 12 。因为cos5π12+α( )= 1 3>0 ,所 以- π 2<α+ 5π 12<- π 12 ,所以sin5π12+α( )= - 1-cos2 5π12+α( ) =- 22 3 。 (2)由已知得sinx+cosx= 1 5 ,两边平 方整理得2sinxcosx=- 24 25 ,所以(sinx- cosx)2=1-2sinxcosx= 49 25 。由-π<x< 0,可知sinx<0。因为sinxcosx=- 12 25< 0,所以cosx>0,可知sinx-cosx<0。 故sinx-cosx=- 7 5 。 利用同角三角函数关系 式和诱导公式求值或化简时, 关键是寻求条件与结论间的联系,灵活使用 公式进行变形,同时注意角的范围对三角函 数符号的影响。 作者单位:江西省赣州中学 (责任编辑 郭正华) 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 $