17 理解万有引力定律有方法-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■赵中凡 万有引力定律是自然界的一条普遍规 律,它清楚地揭示了复杂运动背后隐藏着的 简洁的科学规律,它明确地宣告天上和地上 的物体遵循着完全相同的科学法则。同学们 在理解这一伟大的定律时可以从以下四个方 面入手。 一、牢记万有引力定律的内容 万有引力定律的内容:自然界中任何两 个物体都相互吸引,引力的方向在它们的连 线上,引力的大小与物体的质量m1 和m2 的 乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成 反比。 注意:万有引力定律中两个物体之间的 距离r,对于相距很远而可以视为质点的物 体来说指的是两质点间的距离,对于未特别 说明而可以认为是均匀球体的天体来说指的 是两球心间的距离。 二、掌握万有引力定律的数学表达式 万 有 引 力 定 律 的 数 学 表 达 式:F = G m1m2 r2 ,其中 G 为引力常量,通常取 G= 6.67×10-11N·m2/kg2。 拓展:引力常量在数值上等于两个质量 都是1kg的物体相距1m时的相互作用力, 它是在1798年由英国物理学家卡文迪许利 用扭秤装置测出来的。 例1 如图1所示,三个质量分布均匀的 球体A、B、C 的质量分别为m、m 和M,A、B 两球心间的距离为l,A、B 两球心连线的中 点O 与C 球球心间的距离为s。求C 球受到 A、B 两球对它的共同吸引力。 图1 A、C 两球心间的距离r1= l 2( ) 2 +s2,根据万有引力 定 律得A 球对C 球的吸引力大小F1=G mM r21 。 B、C 两球心间的距离r2= l 2( ) 2 +s2,同理 得B 球对C 球的吸引力大小F2=G mM r22 。 根据平行四边形定则将两分力F1、F2 合成 得F=2F1· s r1 = 2GmMs l 2( ) 2 +s2[ ] 3 2 ,即C 球受 到 A、B 两 球 对 它 的 共 同 吸 引 力 大 小 为 2GmMs l 2( ) 2 +s2[ ] 3 2 ,方向由O 点指向C 球球心。 三、注意万有引力定律的适用条件 万有引力定律适用于两个可视为质点的 物体或质量分布均匀的球体。当研究天体运 动的向心力来源于天体之间的万有引力问题 时,可以利用公式G Mm r2 =m v2 r=m 4π2 T2r= mω2r进行求解;当研究地球对物体的万有引 力近似等于物体的重力问题时,可以利用公 式G Mm R2 =mg 得出GM=gR2(黄金代换式) 进行求解。 拓展:由G Mm r2 =m v2 r 得v= GM r ,因 此r越大,v 越小;由G Mm r2 =mω 2r 得ω= GM r3 ,因 此r 越 大,ω 越 小;由 G Mm r2 = m 4π2 T2r 得T=2π r3 GM ,因此r 越大,T 越 大;由G Mm r2 =ma向 得a向= GM r2 ,因此r 越 43 物理部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 大,a向 越小。 例2 设地球质量为 M,地球半径为R, 月球与地球间的距离为r。 (1)证明:地面上物体的重力加速度g= GM R2 。 (2)证明:月球绕地球运行时的向心加速 度a向= GM r2 。 (3)已知r=60R,利用(1)(2)中结果求 a向 g 。 (4)已知r=3.8×108 m,月球绕地球运 行的周期T=27.3天,求月球绕地球运行时 的向心加速度a向。 (5)已知地球表面的重力加速度 g= 9.8m/s2,利用(4)中结果求 a向 g 。 (6)比较(3)和(5)得到的 a向 g 的结果,并 对此进行分析。 分析:本题主要考查万有引力定律的应 用及地球表面重力加速度与月球绕地球运行 的向心加速度的关系。 (1)证:不考虑地球自转的影响,地面上 物体受到的重力等于地球对它的万有引力, 即mg=G Mm R2 ,解得g= GM R2 。 (2)证:月球绕地球运行所需的向心力等 于地 球 对 月 球 的 万 有 引 力,则 m月 a向 = G Mm月 r2 ,解得a向= GM r2 。 (3)解:由(1)(2)中结果得 a向 g = R2 r2 ,将 r=60R 代入得 a向 g = 1 3600=2.77×10 -4。 (4)解:由运动学公式得a向 = 4π2r T2 ,将 r=3.8×108 m,T=27.3天代入得a向 = 2.69×10-3m/s2。 (5)解:利用(4)中结果和g=9.8m/s2 得 a向 g =2.74×10-4。 (6)解:(3)中 a向 g 的结果是由动力学方法 得到的,(5)中 a向 g 的结果是由运动学方法得 到的,两个结果基本相同。这表明地球对月 球的万有引力和地球对地面上物体的万有引 力都遵从平方反比规律,是同一性质的力。 四、了解万有引