16 三角函数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■张文伟 三角函数是高中数学的重要内容,也是 高考的常考点。同学们要掌握三角函数的有 关概念和性质(单调性、对称性、奇偶性、周期 性、最值),要理解和掌握三角函数的图像与 性质,掌握三角函数模型的简单应用。 题型1:角的概念 象限角的两种判断方法:(1)图像法,在 平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限 角的定义直接判断已知角是第几象限角; (2)转化法,先将已知角化为k×360°+α (0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知 角终边相同的角α,再由角α 终边所在的象 限判断已知角是第几象限角。利用终边相同 的角的集合S={β|β=2kπ+α,k∈Z}判断 一个角β所在的象限时,只需把这个角写成 [0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的 和,然后判断角α所在的象限。 例1 在-720°~0°范围内所有与45°终 边相同的角为 。 解:所有与45°终边相同的角可表示为 β=45°+k×360°(k∈Z)。令-720°≤45°+ k×360°<0°(k∈Z),可得-765°≤k×360°< -45°(k∈Z),解得- 765° 360°≤k<- 45° 360° (k∈ Z),即-2.125≤k<0.125(k∈Z),可知k= -2或k=-1,代入可得β=-675°或β= -315°。答案为-675°或-315°。 跟踪训练1:若α=k×360°+θ,β=m× 360°-θ(k,m∈Z),则角α 与角β的终边的 位置关系是( )。 A.重合 B.关于原点对称 C.关于x 轴对称 D.关于y 轴对称 提示:由题意知角α与角θ的终边相同, 角β与角-θ的终边相同。因为角θ与角-θ 的终边关于x 轴对称,所以角α与角β的终 边关于x 轴对称。应选C。 题型2:弧度制及应用 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解 题策略:(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公 式,要注意角的单位必须是弧度;(2)灵活地 运用弧长公式、扇形面积公式直接求解,或利 用圆心角所在的三角形列方程求解。 例2 一扇形是从一个圆中剪下的一部 分,半径等于圆半径的2 3 ,面积等于圆面积的 5 27 ,则扇形的弧长与圆周长之比为 。 解:设圆的半径为r,则扇形的半径为 2r 3 。记扇形的圆心角为α,则 1 2α× 2r 3( ) 2 πr2 = 5 27 ,所以α= 5π 6 ,所以扇形的弧长与圆周长之 比为 5π 6× 2 3r 2πr = 5 18 。 跟踪训练2:分别以边长为1的正方形 ABCD 的顶点B,C 为圆心,1为半径作圆弧 AC,BD,两弧交于点E,则曲边三角形ABE 的周长为 。 提示:因为两圆弧所在圆的半径都是1, 正方形边长也是1,所以△BCE 为正三角形, 所以∠EBC=∠ECB= π 3 ,∠EBA= π 2- π 3= π 6 。由此可得弧BE 的长为 π 3×1= π 3 , 弧AE 的长为 π 6×1= π 6 ,所以曲边三角形 ABE 的周长是1+ π 3+ π 6=1+ π 2 。 题型3:判断三角函数值的符号 三角函数值(sinα,cosα,tanα)在各象限 的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、 四余弦。 例3 若sinαtanα<0,且 cosα tanα<0 ,则角 α是( )。 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 82 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2021年4月 解:由sinαtanα<0,可知sinα,tanα异 号,则α 为第二象限角或第三象限角。由 cosα tanα<0 ,可知cosα,tanαα异号,则α为第三 象限角或第四象限角。综上可知,α 为第三 象限角。应选C。 跟踪训练3:设a=sin33°,b=cos55°, c=tan35°,则( )。 A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.c>a>b 提示:由b=cos55°=sin35°>sin33°= a,c=tan35°>sin35°=b,可得c>b>a。应 选A。 题型4:三角函数的定义 三角函数定义的解题策略:(1)已知角α 终边上一点P 的坐标,可先求出点P 到原点 的距离r,然后利用三角函数的定义求解; (2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设 出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距 离,然后利用三角函数的定义求解;(3)已知 角α的某三角函数值,求角α 终边上一点P 的坐标中的参数值,可根据定义中的两个量 列方程求参数的值;(4)已知角α的终边所在 的直线方程,根据三角函数的定义可求角α 终边上某特定点的坐标。 例4 已知角α 的顶点为坐标原点,始 边为x 轴的正半轴。若角α 的终边经过点 P 35 ,- 4 5( ),