15 2020年高考“三角函数的图像与性质”问题聚焦-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■何 敏 刘大鸣(特级教师) 2020年高考“三角函数的图像与性质” 主要围绕三角函数的定义、平方关系、三角函 数的解析式、三角函数区间上的零点、三角函 数的值域问题以及三角函数的应用等展开 的,彰显“整体变量观念、转化化归和数形结 合”素养的具体应用。 聚焦1:利用“五点法”探究三角函数的 解析式 例1 (多选题)(2020年高考山东卷)图 1是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像,则 sin(ωx+φ)=( )。 图1 A.sinx+ π 3( ) B.sin π 3-2x( ) C.cos2x+ π 6( ) D.cos 5π 6-2x( ) 解:由图可知,T 2= 2π 3- π 6= π 2 ,则ω= 2π T= 2π π=2 ,这时y=sin(2x+φ),A不合题 意。由图像过点 π 6 ,0( ),可得sin π3+φ( )= 0,由“五点法”知, π 3+φ=π+2kπ ,k∈Z,即 φ=2kπ+ 2π 3 (k ∈Z),所 以 函 数 y = sin2x+ 2π 3+2kπ( )= sin 2x+ π 6+ π 2( ) = cos2x+ π 6( ) =sin π 3-2x( )。又cos 2x+æ è ç π 6 )=-cos 5π 6-2x( ),故D不合题意。应选 B,C。 回味:已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A> 0,ω>0)的部分图像求其解析式时,系数 A 由图容易得出,关键是求系数ω 和φ,求系数 ω 和φ 有两种常用方法:①由ω= 2π T 可求出 ω,确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图 像上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令 ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ。 ②代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、 最低点或“零点”)的坐标代入解析式,再结合 图像解出ω 和φ,若对A,ω 的符号或对φ 的 范围有要求,则可用诱导公式进行变换使其 符合要求。 聚焦2:三角函数的图像变换 例2 (2020年 高 考 江 苏 卷)将 函 数 f(x)=3sin2x+ π 4( ) 的图像向右平移 π 6 个 单位长度,则平移后的图像中与y 轴最近的 对称轴方程是 。 解:将函数f(x)=3sin2x+ π 4( ) 的图像 向右平移 π 6 个单位长度,可得函数g(x)= f x- π 6( )=3sin2x- π 3+ π 4( )=3sin 2x-æ è ç π 12),则函数y=g(x)的对称轴方程为2x- π 12= π 2+kπ ,k∈Z,即x= 7π 24+ kπ 2 ,k∈Z。 当k=0时,x= 7π 24 ,当k=-1时,x=- 5π 24 , 所以平移后的图像中与y 轴最近的对称轴方 程是x=- 5π 24 。 回味:本题考查三角函数的图像变换,考 查基本分析与求解能力。对于三角函数的图 像变换,首先将不同名的函数转换成同名函 数,在进行同名三角函数的图像变换时有两 种途径,一是先伸缩再平移,二是先平移再伸 52 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2021年4月 缩。特别注意,由y=Asin(ωx+φ1)到y= Asin(ωxx+φ2)的平移单位Δx= φ2-φ1 ω ,当 Δx>0时,将y=Asin(ωx+φ1)图像上所有 点向左平移Δx 个单位得到,当Δx<0时,将 y=Asin(ωx+φ1)图像上所有点向右平移 -Δx个单位得到。 聚焦3:三角函数性质的应用 例3 (2020年高考天津卷)已知函数 f(x)=sinx+ π 3( )。给 出 下 列 三 个 结 论: ①f(x)的 最 小 正 周 期 为 2π;②f π 2( ) 是 f(x)的最大值;③把函数y=sinx 的图像上 所有点向左平移 π 3 个单位长度,可得到函数 y=f(x)的图像。 其中正确结论的序号是( )。 A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 解:因为函数f(x)=sinx+ π 3( ),所以 周期 T= 2π ω =2π ,①正确。因为f π 2( )= sin π2+ π 3( )=sin 5π 6= 1 2≠1 ,所以②不正 确。将函数y=sinx 的图像上所有点向左 平移 π 3 个单位长度,得到y=sinx+ π 3( ) 的 图像,③正确。应选B。 回味:解答本题的关键是熟练掌握三角 函数的性质以及三角函数的图像变换的有关 结论。 聚焦4:探究三角函数中的复合函数的 性质 例4 (2020年高考全国卷)已知函数 f(x)=sinx+ 1 sinx ,则( )。 A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图像关于y 轴对称 C.f(x)的图像关于直线x=π对称 D.f(x)的图像关于直线x