09 一道三角函数的图像问题的变式探究-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■王佩其1 王红祥2 已知三角函数的图像求解析式,体现了 数形结合的数学思想,是高考经常出现的一 类问题。那么根据图像如何求出三角函数的 解析式呢? 题目 函数f(x)=Asin(ωx+φ)中 A>0,ω>0,|φ|< π 2 ,且图像如图1所示,求 此函数的解析式。 图1 分析:求函数f(x)的解析式,实际上是 求A,ω,φ三个参数的值,一般可采用数形结 合法与待定系数法求解。 解法1:(五点作图法)由图像知,振幅 A=3,T= 5π 6- - π 6( )=π,所以ω=2。由 - π 6 ,0( ) 是“五点法”中的第一个点,可得 - π 6×2+φ=0 ,即φ= π 3 ,所以函数f(x)= 3sin2x+ π 3( )。 解法2:(方程法)由图像易得A=3,ω= 2。由于图像过点 - π 6 ,0( ),所以f -π6( )= 3sin2 - π 6( )+φ[ ]=0,即sin - π 3+φ( ) = 0,所以- π 3+φ=kπ (k∈Z)。由|φ|< π 2 ,取 k=0,可 得 φ= π 3 ,所 以 函 数 f(x)= 3sin2x+ π 3( )。 解法3:(变换法)由图像易得A=3,ω= 2。因为f(x)=Asin(ωx+φ)的图像是由y= 3sin2x向左平移 π 6 个单位得到的,所以所求函 数的解析式为f(x)=3sin2x+( π 6 )[ ]= 3sin2x+ π 3( )。 方法提炼:由图像求三角函数的解析式 的一般方法:(1)由图像确定“第一个零点”是 关键,一般可将所给图像左、右扩展,寻找离 原点最近且穿过x 轴上升的即为第一个零点 (x1,0),从左到右依次为第二、三、四、五点, 分别有ωx1+φ=0,ωx2+φ= π 2 ,ωx3+φ= π,ωx4+φ= 3π 2 ,ωx5+φ=2π。(2)由图像确 定系数ω,φ通常采用两种方法:①利用周期 和初始值x1(第一个零点的横坐标)或第二、 三、四、五点的横坐标,可以直接解出ω 和φ。 ②代入已知点的坐标,通过解三角方程,再结 合图像确定ω 和φ。(3)振幅A 一般由图像 的最值点或代入点的坐标求出。 变式1:图2是函数y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|≤ π 2( ) 的图像的一部分,试 确定此函数的解析式。 图2 提示:由图像可知,周期T= 13π 3 - π 3= 4π,所以ω= 2π T= 1 2 。因为函数的最大值为 3,所以A=3,这时y=3sin 1 2x+φ( )。 21 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 (方法1)由于所给图像是由函数y= 3sin 1 2x 向右平移 π 3 个单位长度得到的,所 以所求函数解析式为y=3sin 1 2 x- π 3( )[ ], 即y=3sin 1 2x- π 6( )。 (方法2)由图像可得周期 T=4π,可知 ω= 1 2 ,再根据图像可得最大值点为 4π 3 ,3( ), 所以3sin 12× 4π 3+φ( )=3,可 得 2π 3 +φ= 2kπ+ π 2 ,k∈Z,即φ=2kπ- π 6 ,k∈Z。由 |φ|≤ π 2 ,可得φ=- π 6 ,所以所求函数解析 式为y=3sin 1 2x- π 6( )。 (方法3)易得y=3sin 1 2x+φ( )。由图 像过点 0,- 3 2( ),可得3sinφ=- 3 2 ,所以 sinφ=- 1 2 。由|φ|≤ π 2 ,可得φ=- π 6 ,所 以所求函数解析式为y=3sin 1 2x- π 6( )。 (方法4)易得y=3sin 1 2x+φ( )。由图 像过点 π 3 ,0( ),且该点为第一个零点,可得 1 2× π 3+φ=0 ,可知φ=- π 6 ,所以所求函数 解析式为y=3sin 1 2x- π 6( )。 变式2:图3为函数y=Asin(ωx+φ)的 图像的一部分,求此函数的解析式。 图3 提示:由图像知A= 3。以 M π3 ,0( ) 为 第一个零点,P 5π6 ,0( ) 为第二个零点,可列方 程组 ω× π 3+φ=0 , ω× 5π 6+φ=π , ì î í ï ï ï ï 解得 ω=2, φ=- 2π 3 ,{ 所以所 求函 数 解 析 式 为 y= 3sin 2x- 2π 3( ) = - 3sin2x+ π 3( )。 变式3:某地昆虫种群数量在7月份的 1~13日的变化如图4所示,且满足 y= Asin(ωx+φ)+b(ω>0,-π<φ<0)。根据 图中数据求此函数的解析式。 图4 提示:由图像可知,ymax=900,ymin=700, 且A+b=ymax,-A+b=ymin,所以 A= ymax-ymin