10 一道三角函数问题的多角度思考-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■李俊龙 田发胜 三角函数公式多,灵活多变,许多同学在 学习中容易陷入解题误区,绕不出来。实际 上,同学们只要仔细观察题目中的结构特征, 抓住角的变化这个关键,选择合适的公式,消 除角的差异、函数名称的差异,就能获得解题 思路,使问题得以解决。 题目 已知α∈R,sinα+2cosα= 10 2 , 则tan2α= 。 思路1:利用同角三角函数的关系求解。 解法1:由sinα+2cosα= 10 2 及sin2α+ cos2α=1,解得sinα= 3 10 10 ,cosα= 10 10 或 sinα=- 10 10 ,cosα= 3 10 10 ,所以tanα=3 或tanα=- 1 3 。 故tan2α= 2tanα 1-tan2α=- 3 4 。 评析:这种解法思路清晰、自然,但计算 量较大。 思路2:先求出tanα 的值,再利用二倍 角公式,即可轻松获解。 解法2:由sinα+2cosα= 10 2 ,两边平 方可得sin2α+4sinαcosα+4cos2α= 5 2 ,即得 sin2α+4sinαcosα+4cos2α sin2α+cos2α = 5 2 , 所 以 tan2α+4tanα+4 tan2α+1 = 5 2 ,即3tan2α-8tanα- 3=0,由此解得tanα=3或tanα=- 1 3 。 故tan2α= 2tanα 1-tan2α=- 3 4 。 评析:利用熟悉的“齐次式”结构,直接求 得tanα,使解题过程得以简化,这是一种整 体意识,思维上比解法1进了一步。 思路3:要求tan2α的值,可把已知条件 中的角α向2α进行转化求解。 解法3:由sinα+2cosα= 10 2 ,两边平 方可得sin2α+4sinαcosα+4cos2α= 5 2 ,即 sin2α+2sin2α+4cos2α= 5 2 。 利用二倍角公式得 1-cos2α 2 +2sin2α+ 2(1+cos2α)= 5 2 ,即4sin2α+3cos2α=0, 所以tan2α=- 3 4 。 评析:通过变角,把角统一起来,使计算 过程大大简化。在三角变换中,优先考虑角 的变化是解三角问题的重要思路。 思路4:观察sinα+2cosα的结构,利用 辅助角公式求解。 解法4:由于sinα+2cosα= 5sin(α+ φ)= 10 2 ,其中sinφ= 2 5 ,cosφ= 1 5 ,所以 tanφ=2,tan2φ=- 4 3 。因为sin(α+φ)= 2 2 ,所以α+φ=2kπ+ π 4 (k∈Z)或α+φ= 2kπ+ 3π 4 (k∈Z),所以2α=4kπ+ π 2-2φ (k∈Z)或2α=4kπ+ 3π 2-2φ (k∈Z)。据此 可得tan2α= 1 tan2φ =- 3 4 。 评析:辅助角变换是逆用三角公式的一 种重要形式。利用辅助角公式,把要求的问 题中的角用引入的辅助角表示出来是解题的 关键。 作者单位:山东省淄博四中 (责任编辑 郭正华) 41 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年4月 $