14 与三角函数定义有关的交汇问题-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■刘长柏1 张曙光2 三角函数的定义是三角函数的证明、化 简、求值的重要依据,也是三角函数知识的根 本。因此,同学们要深刻理解三角函数的定 义,抓住问题的本质。 一、利用三角函数的定义求参数的值 例1 若角α的终边经过点P(m,-3), 且cosα=- 4 5 ,则m 的值为( )。 A.- 11 4 B. 11 4 C.-4 D.4 解:因为角α 的终边经过点P(m,-3), 所以cosα= m m2+9 =- 4 5 ,且m<0,解得 m=-4。应选C。 评析:已知角α的某个三角函数值,求角 α终边上一点的坐标中的参数值,可根据三 角函数的定义求解。 跟踪 练 习 1:已 知 角 α 的 终 边 过 点 P(-8m,-6sin30°),且cosα=- 4 5 ,则 m 的值为 。 提示:由题意得点 P(-8m,-3),r= 64m2+9,所以cosα= -8m 64m2+9 =- 4 5 , 解得 m=± 1 2 。又cosα=- 4 5<0 ,所以 -8m<0,即m>0,所以m= 1 2 。 二、利用三角函数的定义求值 例2 已知角α的终边在直线y=-3x 上,则10sinα+ 3 cosα 的值为 。 解:在 角α 的 终 边 上 任 取 一 点 P(a, -3a)(a≠0),则 OP= 10 a 。当a>0 时,OP= 10a,sinα=- 3 10 10 ,cosα= 10 10 ,原式=10sinα+ 3 cosα=-3 10+ 3 10=0;当 a<0 时,OP = - 10a, sinα= 3 10 10 ,cosα = - 10 10 ,原 式 = 10sinα+ 3 cosα=3 10-3 10=0 。 综上可知,原式=0。 评析:解答本题的关键是要对终边上一 点P(a,-3a)中的参数a进行分类讨论。 跟踪练习2:已知角α的终边在直线y= 3 3x 上,求sinα和tanα的值。 提示:当x>0时,在角α的终边上任取 一点 t, 3 3t æ è ç ö ø ÷ t>0( ),它与原点的距离r= t2+ 1 3t 2= 23 3t ,于是可得sinα= 3 3t 23 3t = 1 2 ,tanα= 3 3t t = 3 3 ;当x<0时,在角α的终 边上任取一点t, 3 3t æ è ç ö ø ÷ t<0( ),它与原点的距 离r= t2+ 1 3t 2=- 23 3t ,于是可得sinα= 3 3t - 23 3t =- 1 2 ,tanα= 3 3t t = 3 3 。综上可 得,sinα= 1 2 ,tanα= 3 3 或sinα=- 1 2 , tanα= 3 3 。 三、利用三角函数的定义证明三角恒等式 例3 证明:1+tan2α= 1 cos2α 。 证明:由三角函数的定义可知cosα= x r ,tanα= y x ,则左边=1+ y2 x2= x2+y2 x2 = 1 x r( ) 2= 1 cos2α= 右边,所以原式成立。 32 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2021年4月 评析:证明三角恒等式的方法很多,借助 三角函数的定义解题,不仅思路清晰,操作简 便,而且有助于培养同学们思维的发散性、灵 活性和创造性。 跟踪练习3:求证: cosx 1-sinx= 1+sinx cosx 。 提示:由 题 意 知 cosx≠0,所 以 1+ sinx≠0,1-sinx ≠0。因 为 左 边 = cosx(1+sinx) (1-sinx)(1+sinx)= cosx(1+sinx) cos2x = 1+sinx cosx = 右边,所以原式成立。 四、三角函数的定义与同角三角函数的 交汇 例4 已知- π 2<α<0 ,sinα+cosα= 1 5 ,求sinα-cosα的值。 解:设角α 终边上任一点的坐标为(x, y)。由- π 2<α<0 ,可知x>0,y<0。根据 三角函数的定义可得sinα= y r ,cosα= x r , 则 y r+ x r= 1 5 ,即得12x2+25xy+12y2=0, 解得y=- 3 4x 或y=- 4 3x 。 由 x2+y2=r2, y=- 3 4x ,{ 解 得 x= 4 5r , y=- 3 5r ì î í ï ï ï ï 或 x=- 4 5r , y= 3 5r ì î í ï ï ï ï (舍 去);由 x2+y2=r2, y=- 4 3x ,{ 解 得 x= 3 5r , y=- 4 5r ì î í ï ï ï ï (舍去)或 x=- 3 5r , y= 4 5r ì î í ï ï ï ï (舍去)。故 sinα-cosα= y r- x r=- 3 5- 4 5=