02 排列组合常见模型及解题技巧-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

中学生数理化迟数学如结雄与展 排列组合常见模型及解题技巧 ■河南省南阳市第二中学校李红勤 解排列组合问题常分三步走:首先审题,连续两天“捆绑成一天”,有C6种方法,其余 明确要完成的事件;其次确定是独立完成还 的就是4所学校选5天进行排列,共有CA 是分步完成,是排列还是组合;最后要用计数 720(种)方法 原理和排列数、组合数公式求解 变式训练2:4个不同的小球全部放入3 一、优先法(先特殊后一般) 不同的盒子中,若使每个盒子不空,则不同 元素优先法:先考虑有限制条件的元 的放法有种。(答案:C1A3=36) 再考虑其他元素。 、插空法 位置优先法:先考虑有限制条件的位置 对于元素不相邻的排列,可以先排其他 再考虑其他位置。 元素,再让不相邻的元素插空。若局部元素 侧!用1,2,3,4,5,6这6个数字组相邻,可参照“捆绑法”。(注意:每排首尾各 成无重复的五位数,试求满足下列条件的五有一个空位) 位数各有多少个 侧3一个晚会节目有4个舞蹈,2个 (1)数字1不在个位和千位; 相声,3个独唱,舞蹈不能连续出场,则节目 (2)数字1不在个位,数字6不在万位 出场顺序有多少种 解析:(1)位置优先,个位和千位从5 解析:分两步,第一步排2个相声和 数中选,共有A种选择方法,其余3位从4独唱,共A5种排列,第二步将4个舞蹈插入 个数中选,共有A}种选择方法,由乘法原理第一步排好后形成的6个空位中(包含首尾2 知有A3A=480(个)数满足题意 个空位),共有A6种排列。由分步计数原理 (2)元素优先,当1在万位时余下四位有得,有AA8=43200种)方法 1=120(种)选法:1不在万位时,万位有A 变式训练3:3个人坐在一排8个椅子 种选法,个位有A种选法,余下的有A2种,若每个人左右两边都有空位,则不同的坐 选法,共有AAA3=384(种)选法。 法有多少种?(答案:A3=24) 所以总共有384+120=504(种)选法。 四、间接法(排除法) 变式训练1:1名老师和4名获奖同学排 当直接求解情况比较复杂时可采用排除 成一排照相留念,若老师不站两端,则不同的法,尤其遇到“至多”“至少”问题,遵从“正难 排法有多少种?(答案:72种) 则反”思想,从总体中排除不符合条件的方法 二、捆绑法 数,这是一种间接解题的方法 某些元素必相邻的排列,可以先将相邻 侧4有5张卡片,它的正反面分别写 的元素绑捆成一个元素,与其他元素进行排0与1,2与3,4与5,6与7,8与9,将它们任 列,然后再把捆绑元素松开内部全排列 意3张并排放在一起组成三位数,共可组成 侧2某市图书馆要在国庆长假一周 多少个不同的三位数? 内接待5所学校的学生参观,但每天只能安 解析:任取3张卡片可以组成不同的三 排一所学校,其中有一所学校人数较多,要安 位数有C3×23×A3个,其中0在百位数的有 排连续参观两天,其余只参观一天,则不同的C×2×A2个,故可组成不同的三位数有 安排方法有多少种 C3×23×A3-C4×22×A2=432(个) 解析:注意连续参观两天,即把了天中的 从4台甲型和5台乙型电视机 盖中學生数理化 中任取3台,至少要甲、乙各1台,则不同的 侧710个文明学生名额分到7个班 取法有多少种 级,每个班级至少1个名额,有种不同分 解析:9台电视机中选3台,共有C。种 取法,全是甲有C种取法,全是乙有C。种取 解析:此例的实质是10个名额分配给7 C-C3=70(种)取法 个班,每班至少1个名额,可在10个名额中 变式训练4:在平面直角坐标系中,由6的9个空中插入6块隔板,1种插法对应1种 个点(0,0),(1,2),(2,4),(6,3),( 名额的分配方式,故有C=84(种)方案 2,-1)可以确定三角形的个数为 变式训练6:将7个相同的小球放人编号 (答案:15) 为1,2,3的三个盒子里,要求每个盒子内小 五、分类、分步法 球的个数不小于盒子编号,共有种不同 对于较复杂的排列组合问题,常需要分放法。(答案:3) 步计数原理与分类计数原理结合使用,同时 变式训练7:求方程x1+x2+ 定要做到分类明确,步骤清楚,不重不漏。 xs=7的正整数解的个数。 例6如图1,4个单 解析:可将7看成7个1,用7个相同的 位的人去坐4个区域,有 小球代替,将x;(i=1,2,3,4.5)看成5个不 种不同颜色的服装,每个单 同的盒子,然后每个盒子至少放1个小球,共 位的观众必须穿同种颜色 有C6=15(个)解。 的服装,且相邻两区域的颜 七、分组、分配法 色不同,不相邻区域颜色相 分组问题原本无序,得组合数相乘;若均 同与否不受限制,那么不同 匀分组,就出现了序,最后除以组数的阶乘 的着色方法有多少种? 侧8将6本不同的书按以下方式处 解析:由于区域1、