01 数学归纳法学习直通车-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

皇型中学生款肥化 数学归纳法学习直通车 目 ■江苏省太仓市明徳高级中学王佩其 学习数学离不开基本的思想方法,解数 因此,用数学归纳法证明数学命题时,首 学高考题更要讲究思想方法,否则寸步难行 先要明确最先的取值n。并验证真假(必不可 数学归纳法是高中数学的基本方法之一,通少),然后“假设n=k时命题正确”并写出命 过学习,我们不但要掌握它的原理及步骤,而题形式,再分析当n=k+1时命题是什么,并 且要能用数学归纳法证明一些简单的数学命找出与当n=k时命题形式的差别,找准变形 题。那么,什么是数学归纳法呢? 目标。需掌握常用的变形方法:因式分解、添 一般地,证明一个与正整数n有关的命拆项、配方、放缩等。用数学归纳法证题可明 题,可按下列步骤进行: 确为“两个步骤、一个结论”,即递推基础不可 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值na少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉 (n0∈N)时命题成立; 那么,数学归纳法能帮助我们破解哪些 (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈问题呢? )时命题成立,需证明当n=k+1时命题 一、应用数学归纳法证明等式 也成立 只要完成这两个步骤,就可以断定命题 例!已知n∈N,证明:1-2+3 对从n。开始的所有正整数n都成立。上述 证明方法叫作数学归纳法 数学归纳法实质是一种以数学归纳原理 为根据的演绎推理,它将一个无穷归纳过程 转化为一个有限步骤的演绎过程,所以它是 证明:①当n=1时,左边 证明有关自然数问题的有力工具。数学归纳 右边=,等式成立 法有两个步骤:第一步是验证命题递推的基 础,第二步是论证命题递推的依据。这两个 ②假设当n=k(k∈N)时等式成立, 步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步则 就作出判断,可能会得出不正确的结论。因 为单靠第一步,无法递推下去,所以我们无法 判断n取n。以后的数时命题是否正确。同k+1+k+2 样只有第二步而缺少第一步,也可能会得出 那么,当n=k+1时 不正确的结论,缺少第一步这个基础,假设就 失去了成立的前提,第二步也就没有意义了 左边=1 中学生数理化望学如埴与 2k2(k+1) 2(k+1) (1+2 k+1+(k+1)×(1+2+3+…+k) 2(k+1) k+12(k+1) 当k≥2时,1+2+3 (k+1)+1(k+1)+2 (k+1)+k(k+1)+(k+1)=右边 所以当n=k+1时等式也成立 故左边≥k2++1+(k+1) 综合①②知,对一切n∈N,等式都成立。 k2+2k+1+>(k+1) 温馨提示:用数学归纳法证明恒等式应 注意:明确初始值n。的取值并验证n=n。时 这就是说当n=k+1时,不等也成立 命题的真假(必不可少)。“假设当n=k(k 因此,当n≥1时,不等式(1+2+…+n) ∈N‘,且k≥n)时命题正确”并写出命题形 ≥n2恒成 式,分析当n=k+1时命题是什么,并找出与 当n=k时命题形式的差别。弄清左端增加 温馨提示:应用数学归纳法证明不等式 的项,明确等式左端变形目标,掌握恒等式变应注意两个问题:(1)当遇到与正整数n有关 形常用的方法:乘法公式、因式分解、添拆项 的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则 配方等。简言之:两个步骤、一个结论,递推可考虑应用数学归纳法:(2)用数学归纳法证 基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘 明不等式的关键是由当n=k时成立,推证当 n=k+1时也成立。证明时用上归纳假设 后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较 二、应用数学归纳法证明不等式 法、放缩法等证明 例2用数学归纳法证明:对任意n∈ 三、应用数学归纳法证明整除问题 (1 侧3用数学归纳法证明42+1+3 能被13整除,其中n为正整数 证明:当n=1时,左边=右边,不等式成 证明:(1)当n=1时,42×11+31+2=91 能被13整除。 当n=2时,左边=(1+2)(1+2) (2)假设当n=k(k∈N)时,4 能被13整除。 >2,不等式也成立。 (方法1)当n=k+1时,426+1+1+34+3 4+1·42+3+2·3-42+1·3+42+1·3 假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 13+3·(42+1+3+2) (1+2+…+k)(1++ 13能被13整除,42+ 当n=k+1时, 被13整除,故421)++3*3能被13整除 左边=[(1+2+…+k)+(k+1) (方法2)当n=k+1时,[42+1)+1+32+3 皇型中学生款肥化 因为4·13能被13整除,并且4+1+ (2)由(1)可猜想数列/S 的通项公式 34+2也能被13整除,所以411+34+3能被 故当n=k+1时命题也成立。 由(1)(2)知,当n∈N时,421+3”2能 下面运用数学归纳法证明。 被13整除 ①当n=1时