12 复数运算中常见的错解剖析-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

增中學生表理化 复数运算中常见的错解剖析 ■重庆市育才中学校高2023级13班何欣祎(指导老师:祖浚修) 由于同学们以前都是在实数集内考虑问 由一元二次方程求根公式得x 题,所以在学了复数后往往会不自觉地把实(5-i)+(1-i) (5-i)—(1 数有关的性质、公式、法则不加分析地用到复 数上,这就使得解答复数题时常常出现各种 错误。下面分别列举同学们常犯的错误并剖 原方程的解为x1=3-i,x2=2 析原因 二、忽视使用判别式的条件 忽视复数相等的条件 侧3关于x的方程x2+(2a-i) 例已知x是实数,y是纯虚数,且a1+1=0有实根,求实数a的取值范围 满足(2x-1)+(3-y)i=y-i,求x,y的值。 错解:因为方程有实根,所以Δ=(2a 错解:由复数相等的定义得: i)2-4(1-ai)=4a2-5≥0。 解得a≥一或a≤ 剖析:判别式只能用来判定实系数一元 析:a+ 次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况, 立的前提条件是a,b,c,d∈R。但本题y为而该方程中2a-i与1-ai并非实数 纯虚数,并非实数,而左式中的3-y并非是 正解:设x。是其实根,代入原方程变形 (2x-1)+(3-y)i的虚部,同样,在右边的为x3+2ax0+1-(a+x0)i=0,由复数相等 y-i也并非是实部 的定义,得解得a=士 正解:因为y是纯虚数,所以可设y 三、混淆实数与复数的性质 bi(b∈R,b≠0) 侧4解方程|x|+x=1+3i,其 (2x-1)+3i十b=b-i,整理得(2. x∈ 1+b)+3i=(b-1)i。 错解:原方程移项得丨x|=1+3i-x,平 由复数相等的充要条件可得方得x2=(1+31)2-2(1+3i)x+x x-1+b=0,b=4 枚2x=1+3i,即 剖析:错解的原因在于把复数的模与实 故 数的绝对值混为一谈。根据复数定义之 例2解关于x的方程x2-5 ,b∈R)的模|z b2,而实数 (a≥0), (x-2)i=0。 a的绝对值|a a(a<0)。 错解:由复数相等的定义得 正解:设x=a+bi(a,b∈R),代入原方 x2-5x+6=0 程得/a2+b2+a+bi=1+ 剖析:a+bi=c+dia=c且b=d,成 由复数相等的定义得 立的前提条件是a,b,c,d∈R,但本题并未告 诉x是否为实数 a+b+a=1解得(b2=3 正解:原方程变形为x2-(5-i)x+6 故 4+3i。 (责任编辑徐利杰)