11《复数》易错题归类剖析-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

中学生理化 解题篇易错题归类剖析 高二数学2021年4月 《复数》易错题归类剖析 ■甘肃省嘉峪关市第一中学卢会玉 复数是数的概念的一次扩展,伴随着复 A.第一象限B.第二象限 数的引入,产生了许多新的概念、性质和运算 C.第三象限 D.第四象限 法则,有些在实数集成立的性质,在复数集不 错解分析 再成立。同学们原来主要是在实数范围内学 (i+1)(i-1)-i 习数学,对实数的有关法则比较熟悉,现在解 (2+i)·(-2-i) 有关复数的问题时,往往与在实数集中解有 2-i)(-2+i) 关问题相混淆从而出错 从而对应的点在第三象限,选C。 复数是高考的必考内容,在历年的高考 上述解题过程中,共轭复数x=1-i,应 中一般都是以简单的选择题或者填空题的形该先将x=i+1的形式改写为x=1+,再进 式出现,问题涉及的知识点较多,比如与实行运算,否则容易出错 数、向量以及其他数学分支的综合考查,解题 正解:2+i 方法也是比较灵活多变,所以同学们在学习 (1+i)(1 复数时要更加注重概念理解的深刻性和运算 (2+i)(2+i)34 (2-i)(2+i)5 i,从而对应的点在 的准确性。为了更加准确地学习复数,同学 第一象限,选A。 们不仅需要了解容易出错的“警戒点”,还应 该了解有哪些易错题型 评注:复数x=a十bi的共轭复数z 疑难知识导析 bi,一定要注意复数代数形式的特点 易错题型2:对概念和性质记忆不够准确 1.两个实数可以比较大小,两个复数不 定能比较大小。 例2判断下列命题是否正确 2.若z∈R,则x2≥0。若z∈C,则z2≥0 (1)若x∈C,则2≥0; 不一定成立,如当z=i时,=-1<0。 (2)若x1,z2∈C,且z1-z2>0,则z1 3.若z∈R,则|z 但z∈C,则z2 |2=x2不一定成立 错解分析:(1)误把任何一个实数的平方 z3)2=0不一定能推出x1=x2=z3 大于等于零可推广到复数中,从而(1)是正确的; 5.若x1,z2∈R,则|z1 (2)误认为两个实数之差大于零等价于 (x1+x2)-4x122。若x1,2∈C,则此式前一个数大于后一个数,也可推到复数中,从 不一定成立。 而(2)是正确的; 6.z·z=|z|2=|z|2是复数运算与实 (3)把不等式性质错误地推广到复数中, 数运算相互转化的主要依据,也是把复数看忽略不等式是在实数中成立的这个前提条件。 作整体进行运算的主要依据。 正解:(1)错误,不妨设z=i,则z2 易错题剖析 易错题型1:对共轭复数以及复数的运 (2)错误,不妨设z 1+i,满 算不熟悉 足z1-z2=1>0,但x1、z2不能比较大小 侧/若x=i+1,则复数 2+1对应大小。 3)错误,两个非实数的复数,不能比较 的点在()。 评注:准确记忆有关概念和性质,学会辩 理增中孕生表理化 证地思考问题 侧4实数a取什么值时,复数z 练习:两个共轭复数的差是( a2-a-6+ A.实数 2+21是纯虚数? 零或纯虚数 错解分析:因为复数=a2-a-6 解析:设互为共轭的两个复数分别为 i为纯虚数,所以 0,解 bi及x=a-bi(a,b∈R),则x-z a+2 2bi或z-x=-2bi。当b≠0时,z-z,z-z得a=-2或a=3。 为纯虚数;当b=0时,x-z=0,z-z=0 复数为纯虚数的条件为实部为零,虚部 因此应选D 不为零,要同时考虑使式子有意义的条件,上 易错题型3:误用复数相等的条件 述解法正是忽视了这些条件,造成错解 若两个复数相等,则两个复数的实部与 正解:复数x=a2-a-6+4a 实部相等,虚部与虚部相等。在解题过程中, 很多同学不能同时考虑这两个条件,往往只为纯虚数,除了要满足a2-a-6=0,还要满 考虑实部或虚部造成错解。 a2-4a+3 足 a+≠0和a+2≠0 例了已知x是实数,y是纯虚数,且 综上可知满足条件的实数a不存在 满足(2x+1)+i=y+(y-1)i,求x与y的值 :要正确求解本题,不仅要准确了解 错解分析:根据复数相等的充要条件可 复数的性质和运算法则,还要了解复数中实 2x+1=y 数、虚数、纯虚数的成立条件,在出现分式、根 解得 式等情况时,一定要注意式子有意义的条件 易错题型5:没有掌握虚数单位ⅰ整数幂 上述解法显然误把等式两边看成复数标 的运算 准的代数形式加以求解,从而导致错误 正解:由题可设y=bi(b∈R,b≠0),则 侧5求(1+i)·(1-i)“”(m∈Z的值。 原式可变为(2x+1)+i=-b+(b-1)i。根 错解分析:原式=(1-i)° 2x+1 据复数相等的充要条件可得 解得 当n=2时,原式=-8i; 当n=3时,原式=8 则 上述的解答错在没有真正理解n∈Z的 评注:若a+bi=c+di