10 归纳推理的几种类型-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

中学生数理化罡薮学经魏案 月纳推理的几种类型 ■江苏省盐城市时杨中学刘长柏 普通高中数学课程标准(2017年版)》 Aa B a+2 C 2a D 2a+4 明确提出了高中数学核心素养。逻辑推理作 解析:a1=1,a2=1+1=2,a3=1+2 为数学核心素养的六个方面之一,主要表现3,a4=1+3+1=5=a2+a3,a5=1+4+3 为发现问题和提出问题,探索和表征论证过8=a4+a3,…,以此类推可得an=an 。其中“发现问题和提出问题”指的就是归an-2(n≥3)。 纳推理能力。史宁中教授这样描述归纳推理 的定义:“从经验和概念出发,按照某些法则a2021+(a1+a2+…+a2020 进行的、前提与结论之间有着某种联系的推 所以a20-a2=S2020,S 理。”可见,归纳推理具有创造性思维,是发 故选A 现数学规律的过程。此外,归纳推理的过程 点睛:本题考查了合情推理与组合数,重 中需要大家不断地观察和比较事物,从具体点考查了同学们对归纳推理的理解与运用 问题入手抽象出一般数学模型。也就是说 意在考查同学们观察、分析、归纳、推理判断 归纳推理的学习还能促进学生的数学抽象 的能力。同学们解题的关键是能通过观察 直观想象等核心素养的培养。归纳推理数学分析从前几个特殊的等式中总结出一般规 思想方法在解决探索性问题、存在性问题或 从而得到结论 与正整数有关的问题时有着广泛的应用。其 练习1:(2020年河南高三联考理数)《聊 思维模式是“观察一归纳一猜想一证明”,解斋志异》中写到:“挑水砍柴不堪苦,请归但求 题的关键在于正确地归纳猜想。 穿墙术”。在数学中,我们通常称以下形式的 类型一:结论型 等式具有“穿墙术”,2/=/23, 结论型归纳推理是指先通过对特例的观 察,再去发现一般规律。解题的基本步骤是:= 先在诸多特例中发现某些相似性,再把相似 15。按照以上规律 性推广为一个能明确表述的一般命题 mn具有“穿墙术”,则m,n 例(2020年安徽高三联考理数)在满足的关系式为 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 B.n=2(m-1) 书中,用如图1所示的三角形(杨辉三角) C.n=(m-1) 解释了两项和的乘方规律。右边的数字三角 形可以看成当n依次取0,1,2,3,…时(a+ 解析:由题可知:2/ b)”展开式的二项式系数,相邻两斜线间各数 的和组成数列{an}。例a1=1,a2=1+1,a 1+2,…,设数列{an}的前n项和为S。 如果a20=a+2,那么 可归纳m/n=/m=m 1-2-14 所以n=m2-1,选D。 510I05 类型二:周期型 此类问题一般会在周期上设置障碍,要 酸方片中學生表理化 通过周期的定义或有关结论算出已知式子的的数从上到下,从左到右 周期,再进行求值运算,特别是抽象函数,要依次排列,得数列:1,1,1, 能够熟练运用赋值法。此类问题往往以函1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,@e@O 数、数列为载体,考查同学们对周期的求解。 1,…,记作数列{an}。若数O⑥O@Q 侧2(2020年安徽庐阳期中考试)观列an}的前n项和为Sn,则 察下列各式:55=3125,56=15625,5 78125,…,则52020的末四位数字为( A.265 A.0625 B.8125 解析:将1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6 解析:观察可知5=3125的后四位为4,1,…分组为(1),(1,1),(1,2,1),(1,3,3, 15625的后四位为5625;5 1),(1,4,6,4,1), 78125的后四位为8125;58=390625的后 则第n组有n个数且这n个数之和为 四位为0625;5”=1953125的后四位为2” 3125,末四位数字周期出现。因为2020 设a在第n组中,则 ≤57≤ 4×505,所以520的末四位数字为0625 故选A ,解得n=11 点睛:求解本题的关键是引导同学们通 过观察变量间的规律发现末四位数字的周 as在第11组中且为第11组中的第2 期,这样可以简化解题过程,同时培养同学们 个数,即为C10。 的思维能力 则S=20+2+…+2+(C0+C)= 练习2:已知数列{an}满足an 1034,选C 点睛:同学们解决此类问题时,需要细心 解析:f(n)=an,则f(n+2)=f(n+1) 观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系。 f(n)。若函数满足f(x+2)=f(x+1) 图形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形 f(x),则f(x+3)=f(x+2)-f(x+1) 变化规律的归纳。 两式相加得f(x+3)=-f(x),所以f(x+ 练习3:将正整数对作如下分组,第1组 6)=-f(x+3).f(x)=f(x+6),即函数 为{