09 灵活转化巧妙构造-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

热方中学生理化 灵话转化巧构造 利用导数解决二元恒成立问题 ■安徽省安庆市第一中学洪汪宝 二元恒成立问题是函数与导数中的常见 所以h(x)mx=h(1 问题,也是各级各类考试中的重点和热点问 题。因其形式多样,求解转化策略灵活多变, 实数a的取值范围为「2,+∞)。 故成为考试中的难点之一。在解题过程中 点评:因x1,x2∈(0,十∞),故可以将不 要求同学们认真观察所给不等式的结构特 点,灵活转化,将不等式左右两边式子的结构 ta f(t,) f(x2) 0转化为x1f(x1) 化成相同形式,再巧妙构造函数,从而利用导x2f(x2),这样x1,x2分别位于不等式的两 数来研究其性质。它要求同学们具备扎实的侧,其结构相同。于是构造画数F(x) 分析问题和解决问题的能力,并考查同学们xf(x)=ae-x2,利用导数研究该函数的单 对转化与化归思想、函数与方程思想的灵活 调性,将二元恒成立问题转化为一元恒成立 用,同时对同学们的数学运算、逻辑推理 问题,考虑分离参数,转化为求函数的最值问 数学抽象等数学核心素养要求比较高 题,再次构造函数也就非常自然了。 1.不含绝对值 例2已知函数f(x)=2x+1 例1已知函数f(x)=ex(x>xlnx对任意的x1,x2∈(0,+∞),恒有 0)对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,恒1m+x2)成立,求实数m <0成立,求实数a的取值的取值范围 解析:不妨设 范 f(x1)-f(x2) m(x1+x2)可化为f(x1) 解析:依条件可将不等式 f(x2)>m(x1-x2),即f(x1)-mx1> 0化为x1f(x1)<x2f(x2)。 构造函数F(x)=xf(x) x2,则(x2)-mx2对任意的x1,x2∈(0,+∞)恒 成立。 F(x)在(0,十∞)上单调递增。 构造函数g(x)=f(x)-mx2=2x+ 所以F(x)=ae-2x≥0对任意的 1-xlnx-mx2,则函数g(x)在(0,+∞)上 ∈(0,+∞)恒成立。 单调递增。 分离参数,得a≥一对任意的x∈(0 求导得g(x lnx-2mx≥0在 (0,+∞)上恒成立。 ∞)恒成立,只需a≥ 分离参数得2m≤ 只需2m≤ 构造函数h(x) (x>0),则h(x) 令h(x)=0,则x=1。 构造函数h(x) x>0),求导 当x∈(0,1)时,h(x)>0,函数h(x)单 调递增; h(x)单调递减 当x∈(0,e2)时,h'(x)<0,函数h(x) 中学生数理代三数学经魏率方法 单调递减; 数k的取值范围。 当x∈(e2,+∞)时,h(x)>0,函数 解析:(1)函数f(x)的定义域为(0 h(x)单调递增 ∞),求导得f(x)=2x-3+ 所以h(x)m=h(e2) 2x2-3x+1 于是2m≤ 令f(x)=0,得 或 实数m的取值范围为(一 时,f"(x)>0,函数f(x) 不妨设”这三个字的作 用,能够用这三个字,主要因为所给不等式的 单调递增; 左右两边均为关于x1,x2的对称式,这里的 当 1)时,f(x)<0,函数f(x) 对称式也就是将x1,x2分别对调,所得式子 单调递减; 不变。先将分母去掉,再将含x1x2的 当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,函数 分别移到不等式的两边,使其左右结构相同, f(x)单调递增 于是构造函数g(x)=f(x)-mx2=2x+1 xlnx-mx2就显得自然了。 所以函数f(x)的极大值为f 例了若对于任意的0<x1<x2<a 都有nx 4-n2,极小值为f(1)==2 I In x 1恒成立,求正数a (2)由(1)知函数f(x)在(1,+∞)上单 的最大值 调递增,不妨设x1>x2>1,则f(x1)-f(x2) 解析:由条件0≤x1<x2≤a知0,原不等式等价于f(x1)-f ,In 1-a, In z >1可化为x2lnx1 k(x1-x2),即f(x1)-kx1>f(x2)-kx2。 令h(x)=f(x)一kx=x2-(3+k)x+1nx。 x1lnx2<x1-x2,两边同除以x1x2,则 则原不等式等价于函数h(x)在(1 ∞)上单调递增,即等价于h(x)=2x lnx1+1lnx2+1,所(3+k)+120在(1,+∞)上恒成立。 在(0,a)上单调递增 也等价于3+k≤2x+在(1,+ -(In x+1 1x,显恒成立。 然当x∈(0,1)时,f(x)>0,函数f(x)单调 令g(x)=2x+ 递增,所以正数a的最大值为1。 点评:为了将含x1,x2的式子分别移到 因为g'(x)=2->0在(1,+∞)上 号,再两边同除以x1x3最后还要移项,对同 恒成立,所以g(x)>g(1)=3,即2 学们灵活转化的能力要求比较高。 3,于是3+k≤3,k≤0 2.含有