2014年辽宁理科16题的多种解法

2014年辽宁理科16题—高考特刊 （2014年辽宁理科16题） 对于 ，当非零实数 满足 ，且使 最大时， 的最小值为 . 刚刚看到这道题时，我第一感觉就是和2013年山东卷理科卷12题一样，于是想转化为其次式，从分式型均值不等式入手，可是仔细观察发现，此题在 两边同时除以 根本不是齐次式，而且还有绝对值，那么怎么才能构造其次式呢，而且不含绝对值？于是我选择了平方，得到解析1. 解析1： 要使 取得最大值，则 必然同号，则 ，令 ， 所以 ，当且仅当 时“=”成立 所以 ，则 ， 代入已知条件解得 所以： 方法1是通过构造其次式间接求出 的最大值，那么能不能直接求 的最大值呢？ 在高中阶段一般求最值问题都会想到两个办法，一个是函数，另一个则是不等式，那么不等式能不能解决该问题呢？于是我开始尝试从已知的等式中凑出 这个整体， ，可是另一部分却不是需要的形式，我作了简单的变形 ，发现要想凑出 ，只需要 即可， ，于是得到解析2： 解析2： ，整理得 所以 ，解得 ，当且仅当 ，即 时等号成立. 结合已知条件解得 故 所以 的最小值为 上面的两种解法都是通过均值不等式寻找取等条件的。那么能不能先设出取最值的条件 ，然后再通过最值来确定参数 ，经过仔细思考推敲，发现也是可以的，此法与法1基本一致，具体思考过程不再赘述，请看解析： 解析:3：设 时， 取得最大值 ， 把 代入 整理得， 所以 令 ， ，则 ，当且仅当 时，即 时， 取得最大值 结合已知条件解得 所以 至于解法四是属于学生容易想到的方法，而且执行起来比较容易，此法思路来源于解题研究会群里面老师的启示，思路历程略去. 解析4：要想 取得最大值，则 必然同号，设 ， ，则 代入 整理得 因为 为非零实数，则方程必然有实数根，所以 解得 ，所以 将 代入方程，解得 结合已知条件解得 故 对于此题，解法远远不止这几种，由于各种原因，其他方法就不在此一一介绍了，感兴趣的同学可以自行思考，也可以查阅相关资料。 $$