08 求解复数模及最值的多种方法-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

酸方片中學生数理化 求解复数模及最值的多种方法 ■安徽省灵璧县黃湾中学王晖 复数有代数、三角、向量三种表示方法 (方法3)题设可等价转化为向量a,b满 其性质多种多样,因此使得复数模的解法有足 b,a+b=(3,1),求a-b的值 很多且灵活多变。下面举例向同学们介绍求 因为(a+b)2+(a-b)2=2a|2 解复数模及最值的几种常用方法 2|b|2,所以4+(a-b)2=16,解得|a-b 一、求复数模的方法 23,即|z1-2|=2/3 侧(2020全国Ⅱ卷)设复数 (方法4)设x1+x2=x=/3+i,复数z 满足|z1 z2|=2,x1+z2=/3+i,则在复平面上对应的点为P(3,1),所以 z=2。由平行四边形法则知所 解析:(方法1)设 +yi(x1,y∈组成的图形是边长为2、一条对角线也为2的 R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则由|z 菱形,则另一条对角线的长为|z1一x2|=2× 因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i= 3+i,所以|z1+x 二、求复数模最值的方法 1.利用基本不等式求解 y2)2=x1+y1+x2+y2+2x1x2+2yy2 复数x+yi的模为 y2,根据平方 8+2x1x2+2 (3)2+12=4,也即 和的特征,用基本不等式求解是常用方法。 2x1x2+2y1y2=-4 所以|z1一z 例2已知3|z-2-2i=|z|,试求 x1-x2+(y1-y2 z的最值。 解析:设x=x+yi(x,y∈R),则|z|= r1+y2+x2+y2-2x1x2 =/8+4 之 (方法2)设z1=a+bi(a,b∈R),则z 2)2+(y-2) y2,即 3-a+(1-b)i。 9(x+y)=2x2+2y2+18 因为x2+y2≥2xy,所以2x2+2y2 故 也即 2(x2+y2),即 9(2x2+2y2+18) 所以|x1-x212=(2a-/3)2+(2b-1)2 2(x2+y2),也即2(x2+y2)-9/2 4(a2+b2)-4/3(a+b)+4=12。 23 解得≤x2+y2≤ 中学生数理代三数学经魏率方法 例5若复数z1、z2是关于x的一元 2·21最大值=3/2 次方程x2tan0+xsin0+cotb=0的两个 故 2|最小值 2.利用模的性质不等式求解 根,且6≤0≤3,试求|x1+121的最值。 不等式|z1|-|z2|≤|z1±z2≤|z1|+ 解析:因为△=sin20-4tan0·cotO 1z2|(x1≠0,z2≠0)应用广泛,当z1与z2对sin20-4<0,所以方程有两个共轭虚根x1 应向量平行或共线时,可利用此不等式性质2,即z1=z2。 求最值 故|z1 例3已知复数z满足|x-2|=10,试 求|x+2+3i的最值及相应的复数。 解析:|z+2+3i|=|(z-2)+(4+3i) 由≤0≤,知cot0>0,且≤cotO ≥||z-2|-14+3i=5,当两向量共线异向 时,上式等号成立 ≤/3,故|z1|+|x cot 6 于是有 4+3 因此,当 2(4+3i)+2=-6 因此,(|x1|+1x21)M=5令 ,(|z1|+ 时,+2+3i最小值=5。 最大值 z+2+3i (x-2)+(4+3i)≤ 5.利用数形结合求解 |z-2|+|4+3i=15,当两向量共线同向 数量的极端性与图形的特殊性是密切相 ,上式等号成立。 关的,充分利用图形上的信息特征,常常可直 于是有 观、简捷地解决问题。 4+3i4+3 侧6若|x-2⑤i=/2,求 因此,当z=2(4+3i)+2=10+6i时 +2+3i最大值=15 /5i的最 3.利用函数的有界性求解 解析:如图1,由|x-2/5i=/2知,z对 通过复数的三角式将模表示为关于正弦应的点Z在复平面上的轨迹是以Q(0,2/5) 或余弦的函数,可用其有界性求解 为圆心、2为半径的圆,即⊙Q。而|z-3 例4已知复数z满足|z|=2,且 5i=|z-(3+/5i),其表示圆上点Z与复 z2-z+4,试求|c的最值及相应的复数z 数3+/5i所对应的点P(3,5)之间的距离 解析:由题意知|z|=2,则|z|2=4,即 连接P、Q两点,并交⊙O于点A,再延 长PQ交⊙Q于点B 设x=2(cos0+sini),则z=2(cos0 由图1可知 01) 3-/5i z|·|z-1+z|=2|4cosO-1|。 PA|=/32+(⑤5)2 最大值 a|最小值=0;当cos0=-1,即z=-2时, PB|=/32+(/5)2+/2 a|最大值=10 利用函数的单调性求解 /14+/2 复数的模能用单调函数表示,则可通 (责任编辑徐利杰) 过闭区间端点的函数值求得最值