03 数系的扩充和复数的引入-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

地望盖如四地出年中学生理化 2021i22,两式相减得(1-i)S=i+i2+i3+写出来,再令x=x+yi,依题意(x,y)在该直 2021 线上解题。 故(1-1)S 2021120,S 解:设x=x+yi,由题设得x+y=1,且 1010+1011i。 x2+y2=25。联立方程得 点评:题是复数与数列的交汇题型,用 所以x=4-3i或x=-3+4i 错位相减法是求得最终结果的关键。 故答案为BD 6.复数模的最值问题 点评:复数集C和复平面内所有点组成的集 例9若复数ε满足|十③+i≤1,合是一一对应关系,这种对应架起了复数与解析 求|x|的最大值和最小值。 几何之间的桥梁,让复数问题和几何问题可以相 分析:利用不等式 z2| 十互转化,增强了数形结合的解题能力 十|z2|求解 侧/2已知z1与x2互为一对共轭虚 解:因为|z+/3+i≥||z|-1+计|,且数,有下列命题,其中一定正确的有() z+/3+i≤1,所以|x|-|/3+i|≤1。 也即|z|-2≤1,解得1≤|z|≤3 C.z1+z2∈RI 故|z的最大值为3,最小值为1 点评:在涉及复数的模的最值或范围问 分析:z1与2是共轭虚数,所以可以设 题时,经常使用的不等式有两个 (1)|z1|-|z2|≤|x1+x2|≤|z1|+|z2|; 解:因为z1与z2是共轭虚数,所以设z (2)|1x1|-|z2||≤|z1-z2|≤|x1|+|z2 a+bi,2=a-bi(a,b∈R,b≠0)。 7.复数中的多项选择题 对于A选项,x=a2-b2+2abi,虚数不 侧/0已知z1=5+3i,x2=5+4i,则 能比较大小,因此A不正确; 下列各式中不正确的是()。 对于B选项,x12=1x12|=a2+b2,正 确;对于C选项,1+z2=2a∈R,正确 对于D选项, 分析:虚数不能比较大小,复数的模可以 比大小 zi不一定是实数,因此不一定正确 解:因虚数不能比较大小,故A,B错误 等式中同时含有|z|与 41,则|x1<x2|。故C错误,D正确。 时,一般用待定系数法,不妨设x=x+yi(x, 因此本题选AB y∈R)。 点评:多项选择题的答案不止一个,评分 侧/3设复数x满足4x+2x=3/3 标准是:全部选对得5分,部分选对得3分,i,复数 n0-cos0i,则下面关于复数 有选错的得0分。本题考查两个方面知识 和z—ω的说法正确的是( 1、虛数不能比大小;2、复数模的求法 B 侧〃若三个复数1、i、x在复平面上 对应的三点共线,且|z=5,则复数≈可能为 分析:可以设复数z A.3+4iB.-3+4i bi,然后代入计算即可。 D.4-3 解:设z=a+bi(a,b∈R),则x=a-bi。 分析:先把1,i这两点所在的直线方程代入4x+2x=3/3+i得 中学生理化 知识篇知识结构与拓展 高二数学2021年4月 4(a+bi)+2(a-bi)=3/3+i,即6a+归思想;(2)方程思想;(3)数形结合思想 复数的乘法类似于多项式的四则运算 33+i。解得 故 将含有虚数单位i的看作一类同类项,不 含i的看作另一类同类项,分别合并即可 解复数除法问题的关键是分子分母同乘以分 A错误,B正确 母的共轭复数,再把结果化简,实际上就是把 (sin e 分母实数化,转化为乘法运算。同学们在进 复数运算时,要灵活利用i的性质或适当 3 sin 0)+(o+cos 0 变形创造条件,从而转化为关于i的问题,并 注意以下结论的应用:(1±i)2=±2i, 因为-1≤sin(0-)≤1,所以0≤2 当一个等式中同时含有|z|与z时,一般 x)≤4,0≤|-|≤2 用待定系数法,设z=x+yi(x,y∈R);两个 复数相等的充要条件是把复数问题转化为实 故C错误,D正确 数问题。对于一个复数x=a+bi(a,b∈R) 本题选BD。 既要从整体的角度去认识亡,把复数看成 点评:本题是复数与三角相结合的一道 个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部 好题,既考查了复数的模的概 要用到 分去认识。特别提醒:|z|的几何意义,令 角恒等变换里的“辅助角公式”,这样的试题 也是新高考的命题趋势 bi(a,b∈R),则|z|=/x2 由此 可知表示复数x的点到原点的距离就是|z 六、考情预测和归纳总结 的几何意义。|z 的几何意义是复平面 预计今年高考中复数部分仍将主要考查内表示复数 复数的代数表示和几何意义,以及复数的代 复数的几何意义体现了复数集C和复平面 数形式的四则运算,题型以多选题、填空题形 内所有点组成集合以及复平面内的向量组成的 式出现,难度不会太大,分值还是5分左右。 集合是一一对应的关系,这种对应架起了复数与 复数问题可与三角、几何问题相互转化, 解析几何之间的