2021年中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（10）

中考数学二次函数压轴300题终极突破提升训练（10） 1．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，为顶点，点关于直线的对称点为． （1）如图①，若点是对称轴上的动点，当取得最小值时，求点的坐标． （2）如图②，连接，点是轴上一动点，求周长的最小值； （3）如图③，点是轴上的动点，点是轴上的动点，是否存在点、，使四边形的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在， 【分析】（1）如图①，连接，交抛物线对称轴于点，点即为所求． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，过点作轴于点，求出即可得到结论； （3）利用轴对称求最短路线的方法，作点D关于y轴的对称点，作点E关于x轴的对称点，得出四边形DNME的周长最小为：+DE，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图①，连接，交抛物线对称轴于点，点即为所求，连接． ∵抛物线， ∴，，抛物线对称轴为直线． ∵点，点关于直线对称， ∴． ∴． ∴此时取得最小值． 设直线的解析式为：y=kx+b，则有， 解得，， 所以，直线的解析式． 当时，， ∴； （2）如解图②，∵为定值， ∴当的值最小时，的周长最小． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，过点作轴于点， 由抛物线解析式可知， ∴，， ∴． ∵点，关于轴对称， ∴． ∴． ∴此时取得最小值． ∵，∴， ∴． ∴， ∴周长的最小值； （3）存在，如解图③，作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接与轴、轴的交点即为点、，连接，，，延长，交于点． ∵点，关于轴对称，点，关于轴对称， ∴，． ∴四边形的周长为． 由两点之间线段最短，可知此时四边形取得最小值． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴，． ∴． ∴四边形周长的最小值为． 【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理、利用轴对称求最短路线等知识，利用数形结合是解题关键． 2．(本题满分8分)如图，己知抛物线与轴相交于点，其对称轴与抛物线相交于点，与轴相交于点. (1)求的长; (2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为.若新抛物线经过原点，且，求新抛物线对应的函数表达式. 【答案】（1）；（2）或 【详解】解析：解：（1）令，则，.∵ 过点作⊥，垂足为，， ∴在Rt中，. (2)∵在Rt中，,. ①当顶点在第四象限时，，∴点在直线上 设点，则新抛物线的函数表达式为， ∵抛物线经过原点，,解得，（不合题意，舍去） ∴新抛物线的函数表达式为 ②当顶点在第二象限时，，∴点在直线上 设点，则新抛物线的函数表达式为 ∵抛物线经过原点，∴,解得，（不合题意，舍去） ∴新抛物线的函数表达式为 综上所述：新抛物线的函数表达式为或 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过三点，，直线AD与抛物线交于另一点E． （1）求抛物线和直线AD的解析式； （2）若是直线AD上方抛物线上的一动点，当为何值时面积有最大值，最大值是多少； （3）在直线AD下方抛物线上的一个动点G，当时，写出点G的坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为：；直线AD的解析式为：；（2）当时，最大值为；（3）或． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线和直线AD的解析式即可； （2）联立抛物线与直线的解析式，得到点E的坐标，设点，过点M作轴，交AE于N，则，利用割补法表示出的面积，得到关于x的二次函数，利用二次函数求最值即可解决； （3）设，过点G作轴，交AE于P，则，利用割补法表示出的面积，得到关于x的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）因为抛物线经过， 设抛物线的解析式为， 将（0，3）代入得， 所以抛物线的解析式为：； 设直线解析式为， 因为直线经过（-1，0），（0，1） ，解得， ∴直线AD的解析式为：； （2）联立抛物线与直线的解析式，可得： ， 解得：或， ∴点E的坐标为：， 设点，过点M作轴，交AE于N，则， ， ∴当时，S有最大值，最大值为 ； （3）设，过点G作轴，交AE于P，则， 解得：或 或． 【点评】本题考查待定系数法求解析式、割补法表示面积、二次函数最值等内容，解题的关键是作出辅助线，合理利用割补法表示面积． 4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求点，点和点的坐标； （2）在抛物线的对称轴上有一动点，求的值最小时的点的坐标； （3）若点是直线下方抛物线上一动点，运动到何处时四边形面积最大，最大值面积是多少？ 【答案】（1）A（﹣2，0），B（l，0），C（0，﹣2）；（2）P（，）；（3）(-1，-2)；4 【分析】（1）令x=0，y=0，代入函数解析式，即可求解； （2）连接AC与对称轴的交点即为点P．求出直线AC的解析式即可解决问