第1章　素养培优课1　动量守恒定律的综合应用的两种模型 讲义—2021-2022学年新教材鲁科版（2019）高中物理选择性必修第一册

素养培优课(一)　动量守恒定律的综合应用的两种模型 [培优目标]1．掌握“人船模型”问题．2．掌握子弹打木块模型问题． 考点1　“人船”模型 若人船系统在全过程中动量守恒，则这一系统在全过程中的平均动量也守恒．如果系统由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，则由m1v1＝－m2v2得m1x1＝－m2x2．该式的适用条件是： (1)系统的总动量守恒或某一方向上的动量守恒． (2)构成系统的两物体原来静止，因相互作用而反向运动． (3)x1、x2均为沿动量方向相对于同一参考系的位移． 【典例1】　如图甲所示，质量为m的人站在质量为M、长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边．当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？(忽略水的阻力) 甲　　　　　乙 [思路点拨]　题目所列举的人、船模型的前提是系统初动量为零，可见当人走到船的另一端而停在船上时，人船也会相对于地面静止．做这类题目，首先要画好示意图，要特别注意两个物体相对于地面的移动方向和两个物体位移大小之间的关系．解题过程中，可以认为人的运动为匀速运动，实际上，此题结论与人在船上行走的速度大小无关．不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达船的左端，那么结论都是相同的． [解析]　如图乙所示．以船和人构成的系统为研究对象，由于所受外力为零，所以系统的动量守恒，可用动量守恒定律求解． 在人从船头走到船尾的过程中，任设某一时刻人和船的速度大小分别为v1和v2，则由于人和船的总动量守恒，于是mv1－Mv2＝0，而这过程中人与船的平均速度eq \x\to(v)1和eq \x\to(v)2也满足类似的关系：meq \x\to(v)1－Meq \x\to(v)2＝0． 上式同乘过程所经历的时间t后，船和人相对于岸的位移同样有：ml1－Ml2＝0．从图中可以看出，人、船的位移l1和l2大小之和等于L，即l1＋l2＝L，由以上各式解得：l1＝eq \f(M,M＋m)L，l2＝eq \f(m,M＋m)L，即船左端离岸eq \f(m,M＋m)L． [答案]　eq \f(m,M＋m)L “人船”模型拓展 “人船”模型不仅适用于人在船上走动的情形，还可以进一步推广到其他类似情景中，如人沿静止在空中的热气球下面的软梯滑下或攀上的问题；还可适用于系统在某个方向动量守恒的情形，如小球沿放在光滑水平面上的弧形槽下滑的情形．这两类情形看似不同，其实都属同一种“人船”模型问题． [跟进训练] 1．一个人在地面上立定跳远的最好成绩是x，假设他站在船头要跳上距离为L远处的平台上，水对船的阻力不计，如图所示．则 (　　) A．只要L<x，他一定能跳上平台 B．只要L<x，他有可能跳上平台 C．只要L＝x，他一定能跳上平台 D．只要L＝x，他有可能跳上平台 B　[若立定跳远时，人离地时速度为v，从船上起跳时，人离船时速度为v′，船的速度为v船，由能量守恒E＝eq \f(1,2)mv2，E＝eq \f(1,2)mv′2＋eq \f(1,2)mveq \o\al(2,船)，所以v′＜v，人跳出的距离变小，所以B正确．] 考点2　子弹打木块模型 1．子弹打木块的过程很短暂，认为该过程内力远大于外力，则系统动量守恒． 2．在子弹打木块过程中摩擦生热，系统机械能不守恒，机械能向内能转化． 3．若子弹不穿出木块，二者最后有共同的速度，机械能损失最多． 【典例2】　如图是冲击摆装置．塑料制成的摆块用绳悬挂起来，使它只能摆动不能转动．摆块中间正对枪口处有一水平方向的锥形孔，孔的内壁垫有泡沫塑料，当弹丸射入后迅速停住，然后与摆块一起摆动，读出摆线偏离竖直方向的最大角度，就可求出弹丸的速度．某次实验中，弹簧枪射出的弹丸以某一速度v0(未知)水平射入静止的摆块，读出摆线偏离竖直方向的最大角度α＝37°；然后将摆块拉到摆线偏离竖直方向的角度β＝60°由静止释放，当摆块摆到最低位置时，让弹丸以相同速度v0射入，摆块恰好静止．已知摆线的长度L＝1.00 m，不考虑空气阻力，求弹丸质量m与摆块质量M的比值及弹丸的初速度v0的大小．(g取10 m/s2，cos 37°＝0.8) [解析]　设弹丸射入摆块后共同速度为v，选v0的方向为正方向，系统在水平方向动量守恒，根据动量守恒定律得 mv0＝(m＋M)v． 弹丸与摆块一起摆起的过程中系统机械能守恒，则有 eq \f(1,2)(M＋m)v2＝(m＋M)gL(1－cos α)， 将摆块拉起由静止释放，摆块摆到最低点时的速度为v1． 由机械能守恒定律得MgL(1－cos β)＝eq \f(1,2)Mveq \o\al(2,1)， 弹丸射入摆块后系统共同速度为0，由动量守恒定律得mv0－Mv1＝0． 联立解得eq \f(m,M)＝eq \r(\f(5,2))－1，v0＝e