1.5.1-1.5.2曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 课件-2020-2021学年高二数学人教版选修2-2

富源县第六中学 叶志波 1.5 定积分的概念 1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 曲边梯形的概念：如图所示，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形． 如何求曲线下方“曲线梯形”的面积？ 直线 几条线段连成的折线 曲线？ x y 0 x y 0 x y o 1.了解定积分的 “以直代曲”，“无限逼近”的基本思想.（重点） 2.掌握求曲边梯形面积的方法步骤：“分割、近似代替、求和、取极限”.（难点） 刘徽——割圆术 魏晋时期数学家 割之弥细，所失弥少， 割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣。 阅读材料、提炼方法 以“直”代“曲” 无限逼近 点击演示 案例探究一:求曲边梯形的面积 如何求由直线 与抛物线 所围成的平面图形的面积 S？ 问题1：下面的曲边梯形应该如何分割？ 问题2：怎样分割最简单？ 思考 方案1 方案2 方案3 为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形 对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代曲”. x y O 1 S  S1+ S2 +    + Sn 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 b a x y O y = f(x) S1 Si Sn 分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S. 下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程 点击演示 （一）分割： 在区间 上等间隔地插入 个点，将区间 等分成 个小区间： ， ，…， 记第 个区间为 ， 其长度为 。 分别过上述 个分点作 轴的垂线，从而得到 个小曲边梯形，他们的面积分别记作： ， ，…， 显然， （二）近似代替—以直代曲 分别用小区间左端点的纵坐标 为高， 为底作 小矩形，于是小矩形面积依次为： （三）求和 （三）三种方案求和 （四）取极限 点击演示 引申 我们用每一个小区间的左、右端点的函数值 和 作为近似值计算面积，如果取任意 处的函数值 来计算小曲边梯形面积的近似值，情况又怎样？ 案例探究二:求变速直线运动的路程 如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为 (t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在 这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？ 事实上，类似于求曲边梯形面积的过程，汽车行驶的路程s就是由直线t＝a，t＝b，v＝0和曲线v＝v(t)所围成的曲边梯形的面积． 在时间区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n个小区间： 记第i个区间为 ，其长度为： （一）分割： 把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作： 显然有 O v t 1 2 当n很大，即 很小时，在区间 上，函数 的变化值很小，近似地等于一个常数. 从物理意义上看，就是汽车在时间段 上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻 处的速度作匀速行驶. （二）近似代替—以直代曲 在区间 上，近似地认为速度为 即在局部小范围内 “以匀速代变速”. （三）求和 当n趋向于无穷大，即 趋向于0， 趋向于S，从而有 （四）取极限 思考4：结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s与由直线t=0，t=1，v=0和曲线v=－t2+2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？ 图中矩形面积的和就是曲边 梯形的面积，从而汽车行 驶的路程 在数 值上就等于相应曲边梯形 面积. 1.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积. 过每个分点作x轴的垂线， 每个区间 的长度为 解:(1)分割:将区间[0,2]n等分,则 将原曲边梯形分割为n个小曲边梯形; (2)近似替代 以每个区间的左端点的函数值为高作n个小矩形,当n很大时,用这n个小矩形的面积和近似替代曲边梯形的面积S; (3)求和 (4)取极限 即曲边梯形的