宁夏银川一中2020-2021学年高三下学期第二次模拟数学理试题（图片版）

$ 1 银川一中 2021 届高三第二次模拟数学(理科)参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B D D C B B B C D C 二、填空题： 13. m=0.5 14． 7 3 3 15． 3 26 16. 729 68 ; 6 2  三、解答题： 17．解：（1）当 2n  时， 12n na S   与 1 2n na S   两式相减得 1 2 ( 2)n na a n   . ∵数列是等比数列，∴公比 2q = ， 2 12a a . 又 12 12 2a S a    ，∴ 1 2a  ，∴ 2 n na  （2）∵由 1 2n na S   得 12 2nnS   ， ∴  2 3 12 2 2 2nnT n    … 4222 21 )21(2 2 2      nn n n 18.（1）D 是圆弧 BC 上的动点（不包括 B，C 点），假设存在点 D，使得 BD⊥AC． 过点 D 作 DE⊥BC，∵平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC∩平面 BCD＝BC． ∴DE⊥平面 ACB，AC⊂平面 ABC， ∴DE⊥AC，又 DE∩BD＝D， ∴AC⊥平面 BCD，而∠ACB＝60°，得出矛盾． ∴假设不正确．因此不存在点 D，使得 BD⊥AC． （2）设圆心为点 O，连接 OA，分别以 OC，OA，为 y 轴作空间直角坐标系． 设 OC＝1，O（0，0，0），A（0，0，√𝟑），B（0，﹣1，0），D（ √𝟑 𝟐 ， 𝟏 𝟐 ，0）， C（0，1，0）． 𝑩𝑨 → =（0，1，√𝟑），𝑩𝑫 → =（ √𝟑 𝟐 ， 𝟑 𝟐 ，0），𝑪𝑨 → =（0，﹣1，√𝟑）， 设平面 ABD 的法向量为：𝒏 → =（x，y，z），则𝒏 → •𝑩𝑨 → = 𝒏 → •𝑩𝑫 → =0， ∴y+√𝟑z＝0， √𝟑 𝟐 x+ 𝟑 𝟐 y＝0， 取𝒏 → =（3，−√𝟑，1）， ∴直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值 ＝|cos＜𝒏 → ，𝑪𝑨 → ＞|= |𝒏 → ⋅𝑪𝑨 → | |𝒏 → |⋅|𝑪𝑨 → | = 𝟐√𝟑 √𝟏𝟑×𝟐 = √𝟑𝟗 𝟏𝟑 ． 本题考查了线面面面垂直的性质定理、法向量的应用、数量积运算性质、圆的性质，考 查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．解：（1）该混合样本达标的概率是( 𝟐√𝟐 𝟑 )𝟐 = 𝟖 𝟗 ， 所以根据对立事件原理，不达标的概率为𝟏 − 𝟖 𝟗 = 𝟏 𝟗 ． （ 2）①方案一：逐个检测，检测次数为 4． 方案二：由①知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为 1，概率为 𝟖 𝟗 ；若不达标则 检测次数为 3，概率为 𝟏 𝟗 ．故方案二的检测次数记为 ξ2，ξ2的可能取值为 2，4，6． 其分布列如下， ξ2 2 4 6 p 𝟔𝟒 𝟖𝟏 𝟏𝟔 𝟖𝟏 𝟏 𝟖𝟏 可求得方案二的期望为𝑬(𝝃𝟐) = 𝟐 × 𝟔𝟒 𝟖𝟏 + 𝟒 × 𝟏𝟔 𝟖𝟏 + 𝟔 × 𝟏 𝟖𝟏 = 𝟏𝟗𝟖 𝟖𝟏 = 𝟐𝟐 𝟗 方案四：混在一起检测，记检测次数为 ξ4，ξ4可取 1，5． 其分布列如下， ξ4 1 5 p 𝟔𝟒 𝟖𝟏 𝟏𝟕 𝟖𝟏 可求得方案四的期望为𝑬(𝝃𝟒) = 𝟏 × 𝟔𝟒 𝟖𝟏 + 𝟓 × 𝟏𝟕 𝟖𝟏 = 𝟏𝟒𝟗 𝟖𝟏 ． 比较可得 E（ξ4）＜E（ξ2）＜4，故选择方案四最“优”． ②方案三：设化验次数为 η3，η3可取 2，5． η3 2 5 p p 3 1﹣p3 𝑬(𝜼𝟑) = 𝟐𝒑 𝟑 + 𝟓(𝟏 − 𝒑𝟑) = 𝟓 − 𝟑𝒑𝟑； 方案四：设化验次数为 η4，η4可取 1，5 η4 1 5 p p 4 1﹣p4 𝑬(𝜼𝟒) = 𝒑 𝟒 + 𝟓(𝟏 − 𝒑𝟒) = 𝟓 − 𝟒𝒑𝟒； 由题意得𝑬(𝜼𝟑)＜𝑬(𝜼𝟒) ⇔ 𝟓 − 𝟑𝒑 𝟑＜𝟓 − 𝟒𝒑𝟒 ⇔ 𝒑＜ 𝟑 𝟒 ． 故当𝟎＜𝒑＜ 𝟑 𝟒 时，方案三比方案四更“优”． 20.解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在𝐱轴上方的切点为𝐌，𝐱轴下方的切点为𝐍， 则𝐤𝐍𝐄 = 𝟏，𝐍𝐄的直线方程为𝐲