第一讲 一 平面直角坐标系-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

坐标法思想是17世纪的数学家笛卡儿、费马提出的．坐标法思想为牛顿、莱布尼茨创立微积分奠定了基础，它是近代数学发展的开端，已成为现代数学最重要的基本思想之一．坐标系是联系几何与代数的桥梁，是数形结合的有力工具，利用它可以使数与形相互转化． 同学们已学过数轴、平面直角坐标系、空间直角坐标系的初步知识．在此基础上，本讲将进一步介绍极坐标系、空间柱坐标系、球坐标系等，展示不同坐标系在刻画几何图形或描述自然现象中的作用，拓广坐标系的知识；通过介绍简单曲线的极坐标方程等知识，使同学们更全面地理解坐标法思想． 1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用． 2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． 3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．能进行极坐标和直角坐标的互化． 4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义． 5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别． 坐标系的学习应着重理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组(坐标)来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同．同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式．因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式． 在坐标系的学习中，可以自己尝试建立坐标系，理解建立坐标系的原则，激励自己的发散思维和创新思维，并通过具体实例理解这样建立坐标系有哪些方便之处． 一　平面直角坐标系 目标 定位 1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用. 2.掌握平面直角坐标系中坐标伸缩变换的定义． 3.在同一平面直角坐标系中，能够利用定义熟练的进行曲线方程的坐标伸缩变换. [来源:Z+xx+k.Com] 1．通过直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了_____________________． 2．根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的___________________________________________________________________________________________ . 3．设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为________________________________________________________________________． 自我校对　1.数与形的结合　2.坐标法 3．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 1．明确坐标系建立的作用，选择合适的坐标系，方程可以变得简单，只有引入了坐标系，转化为方程，有关问题才得以解决． 2．要抓住伸缩变换的实质． 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)． 当λ＞1时，是横向拉伸变换，当0＜λ＜1时，是横向压缩变换； 当μ＞1时，是纵向拉伸变换，当0＜μ＜1时，是纵向压缩变换． 3．在解析几何的直线方程、圆的方程以及圆锥曲线的方程的研究中，都要建立合适的坐标系．选择建立坐标系的方法不同，得到的曲线的方程也不同．可见，坐标系的建立是相当关键的.[来源:Zxxk.Com] 题型一　利用坐标法证明平面几何问题 　已知▱ABCD，求证：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． 思路点拨　建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，然后计算有关的距离，最后比较得证．另外此题也可用向量法得证． 【证明】　证法一　(坐标法) 以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0,0)， 设B(a,0)，C(b，c)， 则 AC的中点E， 由对称性知D(b－a，c)， 所以AB2＝a2，AD2＝(b－a)2＋c2， AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a)2＋c2， AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab ＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)， AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab， ∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)． 证法二　(向量法) 在▱ABCD中，＝＋， 两边平方得 2＝||2＝2＋2＋2·， 同理得2＝||2＝2＋2＋2·， 以上两式相加，得 ||2＋||2 ＝2(||2＋||2)＋2·(＋) ＝2(||2＋||2)， 即AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．