第二讲 参数方程 本讲整合提升2-2020-2021学年高中数学选修4-4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

本讲主要介绍参数方程的概念，以及常用曲线的参数方程和它们的应用． (1)曲线参数方程的定义：一般地，在给定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变量t的函数： (*) 并且对于t的每一个允许值，由方程(*)所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程(*)就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．参数方程的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．[来源:学#科#网] (2)参数方程和普通方程的互化：相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的．一般情况下，我们可以通过消去参数方程的参数，得出直接表示x、y之间关系的普通方程；也可以选择一个参数将普通方程变成参数方程的形式．在互化中，必须保持互化前后的等价性，如果在互化后某个变量的范围扩大了(也缩小了)，则必须注明，将扩大(或缩小)的部分去掉(或补上)．由于选取参数不同，同一曲线的参数方程也不一样．因此，一般曲线的参数方程不惟一．另外，不是所有的参数方程都能用初等方法化为普通方程的． 化参数方程为普通方程，常用的方法有：代入法、三角恒等式消参数法、代数恒等式消参数法等． (3)常见曲线的参数方程 ①圆的参数方程： x2＋y2＝r2⇔(θ为参数) (x－x0)2＋(y－y0)2＝r2⇔ ②椭圆的参数方程： ③双曲线的参数方程：[来源:Zxxk.Com] ④抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为： ⑤过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程为： 参数t有明显的几何意义，t表示直线上有向线段的数量，即M0M＝t，(其中M(x，y)是直线上任意一点)，当M点在M0上方时，t>0；点M与M0重合时，t＝0；点M在M0点下方时，t<0.如果直线与x轴平行或是x轴，则当点M在M0点右方时，t>0.已知P1、P2两点都在直线上，对应的参数分别为t1和t2，则|P1P2|＝|t1－t2|.P1P2中点对应的t值为t＝(t1＋t2)． ⑥过定点M(x0，y0)，斜率为k＝的直线的参数方程为： 参数t不再是有向线段的数量，a、b可看做质点做匀速直线运动的水平、竖直分速度，t为运动时间．t<0时，可看成质点到达M0点之间的时间．若P1、P2两点对应t1、t2两值，则.显然⑤中的参数方程是这里参数方程的特例(即a＝cos α，b＝sin α)． ⑦摆线的参数方程和圆的渐开线的参数方程． 圆的渐开线的参数方程： (t为参数) 摆线的参数方程： (t为参数) 专题一　参数方程的问题 参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x、y的另一种曲线方程的形式，它体现了x、y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．参数有时有其物理、几何等意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围． 在求轨迹方程问题时，参数的选择十分重要，参数必须与曲线上每一点都有密切关系，其次是能用参数较简捷地表示出x、y. 在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线． 　把参数方程(m是参数)化成普通方程，并指出它所表示的曲线． 【解析】　方程化为 ①×4－②得4x－y－2＝0. 由于与均不为零，所以x≠1，y≠2，则方程表示直线4x－y－2＝0上除去点(1,2)以后的两段． 专题二　圆锥曲线的参数方程 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式． 　从椭圆上任一点向短轴的两个端点分别引直线，求这两条直线在x轴上截距的乘积． 【解析】　设该椭圆短轴的两个端点分别为A，B.化椭圆方程为参数方程：(θ为参数)． 设P为椭圆上任一点，则P(3cos θ，2sin θ)．于是，直线AP的方程为：＝，直线BP的方程为＝，令y＝0代入AP、BP的方程，分别得它们在x轴上的截距为，.故截距之积为：·＝9.[来源:Zxxk.Com] 专题三　直线的参数方程的应用 直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准式才具有明显的几何意义． 　 F2作直线l与双曲线右支交于A、B两点，设左焦点为F1，求|F1A|·|F1B|的最小值． 【解析】　设直线l的参数方程为(t为参数)，代入双曲线方程得