2-3-1 离散型随机变量的均值-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.3　离散型随机变量的均值与方差 §2.3.1　离散型随机变量的均值 [课标解读] 1.理解离散型随机变量均值的概念. 2.会根据离散型随机变量的分布列求出离散型随机变量的均值. 3.掌握离散型随机变量均值的性质及两点分布与二项分布的均值公式.(重点) 4.能运用离散型随机变量的均值解决一些简单的实际问题.(难点) 1.离散型随机变量的均值及其性质 (1)离散型随机变量的均值或数学期望： 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn ①均值或数学期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn. ②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量， ①Y也是随机变量，②E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 2.两点分布、二项分布的均值 (1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝p. (2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 知识点　离散型随机变量的均值 探究1：结合下面的材料，探究几个问题，明确离散型随机变量的均值计算公式. 材料：某商贩有12个西瓜，其中4个重5 kg，3个重6 kg，5个重7 kg. (1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的质量，试想X可以取哪些值？ 提示　X＝5，6，7. (2)X取上述值时对应的概率分别是多少？ 提示　，，. (3)12个西瓜的平均质量该如何求？ 提示　＝5×＋6×＋7×＝(kg). 探究2：结合离散型随机变量均值的概念，探讨下面问题，进一步理解离散型随机变量的均值. (1)离散型随机变量的分布列反映了随机变量各个取值的概率，离散型随机变量的均值反映了随机变量的哪些内容？ 提示　离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平. (2)离散型随机变量的取值与离散型随机变量均值的单位是否相同？ 提示　由定义可知离散型随机变量均值的单位与离散型随机变量的取值单位相同. 　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望. 【自主解答】　(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为＝. 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－＝. (2)根据题意，X的可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1[来源:学,科,网] 2 3 P 因此，X的数学期望为 E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝2. 【答案】　(1)　(2)见自主解答 ●规律总结 求离散型随机变量的均值的步骤 (1)写出X可能取得的全部取值. (2)求X取每个值时的概率. (3)写出X的分布列. (4)由期望的定义求出E(X). 1.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据： 处罚金额x(单位：元) 0 5 10 15 20 会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10 (1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？ (2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验. ①求这两种金额之和不低于20元的概率. ②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望. 解析　(1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是：－＝. (2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C＝10种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为P(A)＝＝. ②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为： X 5 10 15 20 25 30 35 P E(X)＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＋35×＝20. 答案　(1)　(2)①　②20 　(1)已知某离散型随机变量X服从的分布列如图，则随机变量X的数学期望E(X)等于 X 0 1 P m 2m A.　　　　B.　　　　C.