第一章 §1.2 充分条件与必要条件-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1.2　充分条件与必要条件 [课标要求] 1.理解充分条件，必要条件，充要条件的意义． 2．掌握充分条件，必要条件，充要条件的判断方法．(重点) 3．能证明充要条件，会求简单的充要条件．(难点) [基础梳理] 1．充分条件、必要条件 (1)前提：“若p，则q”形式的命题为真命题． (2)条件：p⇒q. (3)结论：p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2．充要条件 (1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 3．互为充要条件[来源:Z#xx#k.Com] 如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． [要点探究] 知识点一　充分条件和必要条件 探究：结合充分条件和必要条件的概念，思考下列问题： (1)“地面湿了”与“天下雨了”的关系是什么？ 提示　“地面湿了”，不能说“天一定下雨了”，但是如果“天下雨了”，必定会“地面湿了”，“地面湿了”是“天下雨了”的必要条件． (2)若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 提示　不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”，“x>3”或“2<x<3”等． (3)如何理解充分条件和必要条件中的“充分性”和“必要性”？ 提示　①由充分条件的意义可知，只要具备条件p，就能得出结论q，或要得出结论q，只要具备条件p就行． ②p是q的必要条件，即要使条件q成立，条件p是必须具备的，不可缺少的；若没有条件p，则条件q必不成立． 知识点二　充要条件的概念 探究：思考式子p⇔q的含义，并结合充要条件的概念，解决下列问题． (1)符号“⇔”的含义是什么？ 提示　符号“⇔”的含义是“等价于”．例如“p⇔q”可以理解为“p是q的充要条件”“p等价于q”“q必须且只需p”；“p⇔q”的含义还可以理解为“p⇒q，且q⇒p”． (2)p是q的充要条件与q是p的充要条件的意义相同吗？[来源:学科网ZXXK] 提示　不相同．两者都有p与q等价的含义，但是两种叙述方式中的条件与结论不同：“p是q的充要条件”中，“p”是条件，“q”是结论，即p⇒q为真，充分性成立，q⇒p为真，必要性成立；而“q是p的充要条件”中的条件是“q”，结论是“p”，即q⇒p为真，充分性成立，p⇒q为真，必要性成立． (3)若p不是q的充分条件，则q可能是p的必要条件吗？p可能是q的必要条件吗？ 提示　充分条件与必要条件是共存的，如果p不是q的充分条件，则q也不是p的必要条件．p可能是q的必要条件. 题型一　充分条件、必要条件、充要条件的判断 　(2018·北京)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【自主解答】　∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立．故选C. 【答案】　C ●规律总结 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，实际上是判断“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p为q的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p为q的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p为q的充要条件；若原命题、逆命题均为假，则p为q的既不充分也不必要条件． (2)在判断时注意反例法的应用． (3)在判断“若p则q”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题的真假． 1．(1)“x2>2019”是“x2>2018”的 A．充分不必要条件　　　　B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由于“x2>2019”时，一定有“x2>2018”，反之不成立，所以“x2>2019”是“x2>2018”的充分不必要条件． 答案　A (2)已知p：2x－3<1，q：x(x－3)<0，则p是q的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　关于p：2x－3<1，解得x<2，关于q：x(x－3)<0，解得0<x<3，则p是q的既不充分也不必要条件，故选D. 答案　D 题型二　充要条件的证明 　(2018·浙江)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的 A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【自主解答】　若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A. 【答案】　A ●规律总结