1.2 充分条件与必要条件（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§2　充分条件与必要条件 授课提示：对应学生用书第3页 一、充分条件和必要条件的概念 若“p”成立，则“q”一定成立．记作“p⇒q”，称p是q的充分条件；q是p的必要条件．换个角度考虑，p⇒q，就是说，为了使q成立，具备条件p就足够了．反过来说，一旦q不成立，p一定也不成立，q成立对于p成立是必要的． 二、充要条件 对于p和q，如果有p⇒q，又有q⇒p，那么，记作p⇔q.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件；同时，q既是p的充分条件，也是p的必要条件．我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．也称p与q是等价的． [疑难提示] 　p是q的充要条件与p的充要条件是q的区别 p是q的充要条件指的是p⇒q是充分性，p的充要条件是q中，q⇒p是充分性． [想一想] 1．若p是q的充分条件，那么p唯一吗？ 提示：不唯一，如x>3是x>0的充分条件，x>5、x>10也是x>0的充分条件． [练一练] 2．“x>0”是“x≠0”的(　　) A．充分而不必要条件　 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立． 答案：A 3．“x2－3x＋2<0”是“－1<x<2”的__________条件． 解析：由x2－3x＋2<0，得1<x<2，因为“1<x<2”是“－1<x<2”的充分不必要条件，所以“x2－3x＋2<0”是“－1<x<2”的充分不必要条件． 答案：充分不必要 授课提示：对应学生用书第4页 探究一　充分条件、必要条件、充要条件的判断 [典例1]　指出下列各命题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答) (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：m>4，q：关于x的方程x2＋mx＋3＝0有实根； (3)p：x＝1，或x＝2，q：x－1＝； (4)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B. [解析]　(1)∵a＋b＝0⇒/ a2＋b2＝0； a2＋b2＝0⇒a＋b＝0， ∴p是q的必要不充分条件． (2)当m>4时，判别式Δ＝m2－12>0， ∴方程有实根，即p⇒q； 若方程有实根， 则Δ＝m2－12≥0，即m≥2或m≤－2，推不出m>4. 即q⇒/ p，∴p是q的充分不必要条件． (3)∵x＝1，或x＝2⇒x－1＝； x－1＝⇒x＝1或x＝2， ∴p是q的充要条件． (4)取A＝120°，B＝30°，p⇒/ q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/ p， ∴p是q的既不充分也不必要条件． 判断充要条件的方法 (1)判断p是q的什么条件，其实质是判断p⇒q及q⇒p两命题的正确性，若p⇒q为真且q⇒p为假，则p是q的充分不必要条件；若p⇒q为假而q⇒p为真，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q与q⇒p均为真，则p是q的充要条件；若p⇒q及q⇒p均不正确，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)等价法：将命题转化为另一个等价的且又便于判断真假的命题． (3)当不易判断p⇒q的真假时，可从集合角度入手考虑． 建立与p、q相应的集合，即p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}. 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若A⃘B，且B⃘A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－ ”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当k＝－时，圆心(2,0)到直线y＝－x＋1的距离为＝1，直线y＝－x＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，故必要性成立；若直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则k＝－或k＝0，故充分性不成立，所以“直线y＝kx＋1与圆(x－2)2＋y2＝1相切”是“k＝－”的必要不充分条件，故选C. 答案：C 2．指出下列各题中，p是q的什么条件： (1)p：(x－2)(x－3)＝0，q：x＝2； (2)p：同位角相等，q：两直线平行； (3)p：x＝3，q：x2＝9； (4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形． 解析：(1)因为命题“若(x－2)(x－3)＝0，则x＝2”是假命题，而命题“若x＝2，则(x－2)(x－3)＝0”是真命题，所以p是q的必要条件，但不是充分条件，即p是q的必要不充分条件； (2)因为命题“若同位角相等，则两直线平行”是真命题，而命题“若两直线平行，则同位角相等